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GEOMETRIA DELLO SPAZIO N. 78. 



ha punti all' infinito, in maniera che una retta è come 

 una curva chiusa di lunghezza finita. Si ottiene una 

 geometria corrispondente alla geometria i^perbolica pren- 

 dendo una superficie fondamentale reale e non rettili- 

 nea, ed avendo riguardo ai punti posti nel suo interno. 

 Questa restrizione è necessaria, perchè trovandosi nel- 

 r interno della superficie e non potendosi cangiar luogo 

 nello spazio che col mezzo di trasformazioni lineari a 

 tre dimensioni, non si potrebbe giammai uscire dall' in- 

 terno della superficie del 2.° grado situata all'infinito. 

 Al di là della superficie fondamentale esisterebbe allo- 

 ra un' altra porzione di spazio, sull' esistenza del quale 

 nulla si sa. Limitandosi alle costruzioni che non escono 

 dall' interno della superficie esse saranno sottomesse 

 alle leggi che la geometria i^erl)olica stabilisce in ge- 

 nerale per le costruzioni nello spazio. Ogni retta, per 

 esempio, ha due punti reali difi'erenti all' infinito ; per- 

 chè ogni retta passando neli' interno della superficie la 

 taglia in due punti reali: e da un punto si possono 

 condurre due parallele alla retta. 



Queste geometrie metriche, che noi abbiamo stabi- 

 lite come immagini rispettive della geometria ellittica 

 ed iperbolica, si cangiano in queste geometrie stesse, 

 quando si fa coincidere la loro superficie fondamentale 

 con una superficie del 2." grado determinata (colla su- 

 perficie all' infinito). 



La specie di superficie del 2." grado, che dove ser- 

 vire di base alla determinazione metrica effettiva, può 

 definirsi con maggior precisione, osservando che un 

 piano girando continuamente intorno ad un asse posto 

 in esso piano a distanza finita ritorna nella sua posiziQ- 



