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 GEOMETRIA DELLO SPAZIO N. 78. 



ne iniziale. Ciò significa che i due piani tangenti che 

 si possono condurre alla superficie fondamentale da 

 una retta situata a distanza finita sono immaginari ; 

 perchè se fossero reali nel fascio di piani vi sarebbero 

 due piani reali all' infinito (cioè due piani che formano 

 con tutti gli altri un angolo infinitamente grande) ed 

 in tal caso nessuna rotazione continuata sempre nello 

 stesso senso potrebbe ricondurre un piano del fascio 

 alla sua posizione iniziale. 



Perciò non si possono immaginare che tre casi : 



l.*^ La siiper^cie fondamentale è immaginaria; il che 

 dà la geometria ellittica. 



2. La superficie fondamentale è reale non rettilinea ; 

 questa è l' ipotesi della geometria iperbolica. 



3.° Caso formante la transizione. — La superficie 

 fondamentale è degenerata in una curva immaginaria ; 

 questa è T ipotesi della geometria parabolica ordinaria. 



Così siamo ricondotti precisamente alle tre specie 

 di geometrie già stabilite da considerazioni affatto dif- 

 ferenti. 



Nota di G. B — s. Questa nuova forma così intuitiva 

 e tanto chiara ed accessibile a tutti varrà, non voglio 

 dubitarne, a persuadere tutti i geometri Euclidiani del- 

 l' imperfezione e deplorevolissima ristrettezza delle 

 loro idee : una cosa mi turba sentir nominare rette pia- 

 ni e superficie del 2.° grado, quei meschini oggetti di 

 studio della vecchia geometria : è ormai tempo di non 

 parlar più di tali anticaglie ; si faccia tavola rasa. — 

 Lo spazio è una moltiplicità ad enne 'dimensioni, ecco 

 un campo abbastanza vasto; avanti Geometri ellittici e 

 Geometri iperbolici, immaginate, create, definite ; ma 



