12 Beyel, centrische und plane Collineation. 



wählt ; mithin ist auch AI' ein beliebiger Punkt des Raumes. 

 C'""" erscheint daher aus jedem Punkte des Raumes als 

 die Projection der Durchdringungscurve von 2 Kegeln 

 der mten resp. nteu Ordnung. Eine solche Curve hat 

 bekanntlich im Allgemeinen keine Doppelpunkte und ihre 

 Developpable ist von der Ordnung m n {m H- n — 2). 

 Daraus folgt, dass C'"" keine Rückkehrpunkte besitzt und 

 von der m n (m + w — 2) ten Classe ist. Wir kennen 

 also von C'""" drei Charaktere. Somit sind auch die übrigen 

 bestimmt. 



h) Sei C"" eme Curve mter Ordnung in einer Ebene 

 X, ivelche C nicht enthält, so entspricht G" in der Colli- 

 neation (C L" J) eine Raumcurve — C'""" — von der 

 mnten Ordnung. 



0'"°° wird nämlich erhalten als Durchdringungscurve 

 der Fläche «ter Ordnung, welche der Ebene X corre- 

 spondirt (3), mit dem Kegel K"" aus C über C". 



c) Sei C" eine Raumcurve der mten Ordnung, so 

 entspricht ihr in der Collineation (CL"z/) eine Raumcurve 

 der Ordnung m n. 



Wir weisen dies nach, indem wir C'"" auf die in 5 

 angegebene Weise construiren. Sei wieder Ai AI' und Q}' 

 eine in Bezug auf Li zusammengehörige Punktegruppe und 

 sei X eine behebige Ebene, welche durch C und Ai geht, 

 so schneidet diese C" in i>i Punkten — Pi...Pn,— . Diese 

 verbinden wir durch die Linien «i ... a,„ mit Ai und ziehen 

 zu letzteren durch C die Parallelen «!...«„% Ferner legen 

 wir durch C nach Pi.-.P^ die Geraden Ci...c,^. Jede der- 

 selben trifft Q,i in n Punkten Q'. Projiciren wir dann 

 aus Ql' die )? Punkte Q', welche in Ci liegen, auf a\, so 

 erhalten wir w Punkte S""*'. Projiciren wir endlich diese 

 aus A}' auf a,, so gelangen wir zu w Punkten von C'™". 



