Beyel, Imaginär-Projectionen. 23 



Punkte — P — von px treffen. Bezeichnen wir die Ge- 

 rade P C mit Q,,, so folgt weiter, dass (Qj,gPiP-^ = ~J ist. 



Haben wir also in der Ebene B den reellen Träger 

 — g — des Schnittpunktes von CPu und l gezeichnet, 

 so können wir nach der letzteren Relation p o bestimmen. 

 Diese Gerade trifft CPn im Punkte P^,. Wir ziehen aus 

 diesen Constructionen einen Schluss für entsprechende 

 Punkte Pii, Poi. Sei ^. eine imaginäre Gerade erster 

 Art, welche durch C geht und in der Ebene B liegt. Sie 

 schneidet i in einem imaginären Punkte, der sich auf 

 einer reellen Geraden (/ befinde. Es ist somit jeder 

 imaginären Geraden Qi eine reelle Gerade g zugeordnet. 

 Drehen wir nun um einen reellen Punkt P von g eine 

 Gerade pi, so schneidet jede ihrer Lagen aus Qi einen 

 imaginären Punkt P,i. Sein correspondirender liegt in ^, 

 und auf einer reellen Geraden p^, welche durch P geht. 

 Wir sagen also: 



Ziuei imaginäre Paukte, u-eldie sich in der Colli- 

 neation (GiJ) entsprec]ie)i, liegen auf einer imaginären 

 Geraden — ^, — durcli G. Ihre reellen Träger schneiden 

 sich in der reellen Geraden g, ivelche Qi zugeordnet ist. 

 Sie bilden mit dem Strahle nach C iind mit g das Doppel- 

 verhältniss J. 



In der Geraden g fällt Pn mit Pj; zusammen, d. h. 

 der Schnittpunkt von g mit i entspricht sich selbst. 



Gehen wir zu den Geraden der Ebene B über, so 

 ergibt sich sofort: 



Einer reellen Geraden — gi — correspondirt in der 

 Collineation (C i J) eine imaginäre Gerade erster Art ga. 

 Letztere ist die Projection aus C2 von der Linie, in welcher 

 die Ebene Ci//, die Ebene J schneidet. Also liegt der 

 reelle Punkt von g :; in q, und g\ g^ schneiden sich in i. 



