60 Beyelj üb. eine ebene Reciprocität u. ihre Anwendung etc. 



Es knüpft sich an diesen Satz folgende Aufgabe: 

 Durch einen Punkt — P — der Ebene soll eine Gerade 

 }) gezogen werden, welche die Seiten eines Dreiecks in 

 der Weise schneidet, dass P mit den Schnittpunkten — 

 in vorgeschriebener Reihenfolge — ein gegebenes Doppel- 

 verhältniss bildet. Um diese Aufgabe zu lösen, verbinden 

 wir P mit den Ecken des Dreiecks. Dann wird j) nach 

 der Relation (^j, Pb p„ p) = J gefunden. Da es zu drei 

 Geraden sechs gibt, welche mit jenen ein vorgeschriebenes 

 Doppelverhältniss bilden, so schliessen wir: 



Wir können die Seiten eines Dreiecks mit sechs Ge- 

 raden durch einen gegebenen Punkt so schneiden, dass 

 dieser Punkt mit den Schnittpunkten das Doppelverhält- 

 niss J bildet. 



Die Aufgabe, welche der besprochenen dual gegen- 

 über steht, verlangt in einer Geraden p diejenigen Punkte, 

 von denen aus nach den Ecken eines Dreiecks Strahlen 

 gehen, welche mit p ein bestimmtes Doppelverhältniss 

 bilden. Es gibt sechs solche Punkte. Sie bilden resp. 

 mit den Punkten, welche p aus den Seiten des in Rede 

 stehenden Dreiecks schneidet, das Doppelverhältniss z/. 



2. 



Eindeutig sind die erwähnten Aufgaben, wenn wir 

 die Ecken und Seiten des Dreiecks festsetzen und die 

 Reihenfolge angeben, in welcher die Punkte in p resp. 

 die Strahlen durch P mit P resp. p das Doppelverhält- 

 niss ^ bilden. Durch diese Festsetzung wird jedem Punkte 

 P eine und nur eine Gerade p zugeordnet, für welche 

 (PcPbPcP) == ^ ist. Auf jeder Geraden p liegt aber nur 

 ein Punkt P, der durch die Bedingung (Pe Pb Pa P) = ^ 

 bestimmt ist. Es wird also auf diese Weise eine eindeu- 



