Beyel, über Curven IV. Ordnung etc. 93 



ä) Wir nehmen an, dass a die unendlich ferne Gerade 

 der Ebene sei. Construiren wir dann eine Curve C* aus 

 einem Kegelschnitt B ' mit Hülfe einer Reciprocität, deren 

 ^ = 2 ist, so muss auf einer Geraden durch P die Be- 

 dingung (Pe Pb Pa Pi) = ^ erfüllt werden. Liegt nun P, 

 unendlich ferne, so halbirt Pe die Strecke Pb Pi. Wir 

 können dann die Erzeugung von C* dahin fassen: 



Gegeben sei ein Kegelschnitt B", eine Gerade c und 

 ein Strahlenbüschel mit dem Scheitel P. Tragen wir den 

 Abstand der Punkte, in ivelclien die Strahlen dieses Bü- 

 schels die Gerade c und den Kegelschnitt B" schneiden, 

 von den Punkten in c aus je auf die entgegengesetzte Seite 

 ab, so erhalten ivir eine C* (Fig. 12). 



Diese hat im unendlich fernen Punkte von c einen 

 doppelten Berührungsknoten. Seine Tangente —b — ist 

 parallel c und liegt in der Mitte von P und c. P ist ein 

 Doppelpunkt von Q,\ Seine Tangenten gehen durch die 

 Schnittpunkte von b mit B". 



Wir haben oben gesehen, dass es unendlich viele 

 Kegelschnitte B" gibt, aus denen C* in einer Reciprocität 

 (cB-«2) abgeleitet werden kann. Indem wir diese Be- 

 merkung in unserem speciellen Falle berücksichtigen und 

 mit j; die Gerade bezeichnen, welche durch P geht und 

 zu c parallel ist, sagen wir: Sei c, und «i ein Geraden- 

 2Kiar, das mit b und p eine harmonische Gruppe bildet 

 und construiren wir auf Geraden durch P zu den Punkten 

 von C* — atisgenommen P — die vierten harmonischen in 

 Bezug auf die Schnittpunkte mit a^ und Ci, so liegen diese 

 vierten harmonischen auf einem Kegelschnitt Bj. 



Analoge Sätze erhalten wir, wenn wir für ein unend- 

 lich fernes a die Curve CMn den Reciprocitäten {cW a — 1) 

 und (cB'al-) ableiten. Im ersteren Falle ist C* der Ort 



