Dcnzlor, Auflösung der Gleichungen des 2. , 3. u. i. Grades. 39 



- T lieg!. So ist z, B. r_^ = 1 , ''71=0, 



^ - J.T = + 1 ^ •'arp. ( — 3 + i)+are; i =— 1 • 



a bedeulel -+- 1, wenn a positiv oder 0, tlageseii - 1, \\enii a 



" negativ ist. Es ist z. B. arg. (a 4- b ij = 



I « 



i> arc.cos , 



- /a2-i-b2 



§. 2. 



Bezeichnen a, b, ai und bi reelle Zahlen, nicht aiisiie- 

 .schlossen , hingegen i und — i die beiden Wertho von K - 1 

 und bedeutet endlich t eine Zahl, welche und jede positive 

 oder negative ganze Zahl zu ihren Werthen hat, so folgt aus 

 der Gleichung: 



x2 + (a 4- bi) X + ai + b,i = 0. 1) 



die vollkoramene Gleichung: 



2) 



*=l|_-a + J |(a2-b2-4ai)+-5-„r(a2-b2-'iai)2+(2ab-lbi)2] + 



■+-| ' [- »> -+-^|/'^4^a2-b2-iai)+|„K'(a2-b^-iai)2+(2ab-lbj)-'] 



d. h. die sämnUlicheu Werlhe des 2. Theils dieser Gleichung 

 sind Wurzeln von der Gleichung 1) und umgekehrt. 



Zur Begründung dieser Behauptung hat man nur zu beden- 

 ken , dass \s enn man in dem 2. Theil der Gleichung 2) dem r 

 die und nachher 1 substiluirt, 2 Werlhe erhalten werden, mit 

 welchen alle übrigen aus andern Substitutionen für r hervor- 

 ffehenden Werlhe coincidiren , und dass, wie sehr leicht zu 

 finden , die Sunnne jener 2 Werlhe = — (a + '>') ■, die wir mit 

 \„ und xi bezeichnen wollen», hingegen ihr Produkt = ai + bii, 

 mithin (x - xj (x - xi) = x« 4- (a + bi) x -f ai + bj ist. 



Zur Herstellung des Ausdruckes für x, der die Form p -f- qi 

 hat, wo p und q reell, war die rnifornuniir eines Radikals mit 

 einen» complexen Badikaiideii in eine Gonq)leve nothwendig. 

 Wir fanden hiebei folgende gesonderte Gleichung : 



/rTbi = j i(a+.r^;2TP) + b i^|/'_»j(_a-+-„r;;?TF) 3) 



