40 Denzicr, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. nnd /». Grades. 



wo a, 1), r und i die im Eingänge dieses §. erw ähnle Hedeu- 

 lung hal)cn. Die IJichligkoil dieser fileichung wird sofort er- 

 kannt, wenn sie für irgend einen Werth von r, z. U. für t =: 0, 

 bewiesen ist. In diesem Falle lindet man zunächst ohne Schwie- 

 rigkeil, dass 



y^ (a + 0^^^+^) + l)i ^1^-^ (- a + „r^i^TF) 



quadrirt a -H hi giht, mithin ein Werlh von fd -t- hi ist ; und 

 wir zeigen daher nur noch, dass diese Summe den besouderu 

 Werth „l^a -i- bi von fa -{- bi ausdrückt. 

 Es ist, wenn a -l- bi nicht — 0, 



, ilog(a + bi) |lmod.(a^-bi)-f•^sr-^krg. (a-f-bi)li 



ifa-hbi^^E- =E^ ^ L 2 = J 



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= oK'a2-j-b2[cos [71 -h|arg.(a4-bi)]-f-i sin [;r-|-| arg. (a + bi)]] 



Ist nun cos [j^ + | arg, (a + bi)] = , so muss nolhwen- 

 dig, da a- + b^ nicht und arg. (a -f" bi), entweder .t oder 

 zwischen ti und - ar , b = und a negativ sein. Aber in die- 

 sem Falle ist der Faktor von i in der dem Radikal i^a 4- bi 

 gleichen Complexen negativ, ^\ährend der Faktor von i in der 

 in Untersuchung stehenden Summe positiv ist. In jedem andern 

 Falle aber würde der reelle Bestandtheil in der Complexen, 

 die = iKa -i- bi, negativ sein, während der reelle Bestandtheil 

 in der fraglichen Summe positiv ist. Wenn demnach a^ -h b^ > 0, 

 so ist diese Summe zwar ein Werlh von Ta -i- bi , aber nicht 

 der besondere Werth ifa -h bi , woraus sich ohne Mühe folgern 

 lässt, dass sie nur den Werlh o^a ■+- bi ausdrücken kann. - 

 Sind aber a und b Nullen, so ist jeder der beiden Theile der 

 Gleichung 3) =. 0. 



§. 3. 



Ehe wir zur Auflösung der Gleichungen des 3, Grades über- 

 gehen können, haben wir folgende Lehrsätze zu beweisen: 



