Denzler, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. u. 4. Gradps. 41 



A. Bezeichnen a, b, ax , bi, k und ki reelle Zahlen, nicht 

 nicht ausgeschlossen , r und tj aber nur positive oder ne- 

 gative ganze Zahlen, inclusive, so hat man die gesonderte 

 Gleichunij: 



^(a + bi)'^+»^''. ^i(ai + b,i)'^-^^''=,_H^,_J(a+bi)(ai+bii)j'' + ''' ^) 



^o f* = ^arg(a + bi)-f-arg(a, + b,i) 



jedoch nur in folgenden Fällen : 



1) wenn weder a + bi noch a, + b,' = 



2) wenn in dem Falle , da a -f- b oder a, + b,i = 0, 

 k positiv ist. 



Ueberdiess ist , wenn weder a + bi noch a, + b,i = ü : 



^arg (a + bi) + arg (a, 4- b,i = 

 -|lb + bii([l+-a2-a,2aa,][l-bab(a2b,2-VJ>^)J + [l-a,lll-a]) 5) 



B. Es ist bei derselben Bedeutung von a und b in jedem Falle 



3 



}fUi + bi)3 = a + bi , wo X = - r3 ^^„ ^g _^ jjj) ß) 



und , wenn a 4- bi nicht = : 



-r3arg(a+bi)=bB(l + :i^)+'(l-::3)(l-'i:^»^')!!>l ^^ 



Beweis zu A. 



Nach Definitionen und Lehrsätzen, die theils im §. 1 aniie- 

 rührt, thcils allsjeniein bekannt sind, bestehen, wenn \Neder 

 a -+- bi noch ai + bii = , folgende Gleicheilen : 



,(a + bi)'^ + '^»'.,(ai + b,i)'^ + '^^' = 

 ^ j.(k + kii) [^log (a + bi) + rjlog (ai + bii)] _ 

 _ |7(k4-k,i)(linod[(a+bi)(a,+b,i)]+i[2(r + r,) tt + arg(a, + b,i)]) 

 Ferner ist aus denselben Gründen : 



^+„_^[(a + bi) (ax + bxi)j''+''i' = 

 _ (k+ k,i)/'lmod [(a+bi)(a, + b,i)] +i[2(r + r — /i)3i + aiK l(a + bi) (a,- b i)l Q 



Nun ist der zweite Theil dieser letztern Gleichung gleich- 

 werlhig mit dem Ausdrucke 8), da, ^^ic leicht einzusehen, 



