42 Üenzler, Auflösung der Gleicbuiigcu des >2., 3. u. 4. Grades. 



arg [(a 4- bi) (a, + b,i)] = arg (a -+- bi) -+- arg (a, -+ b,i) + 

 ""arg (a -H bi) + arg (a, + b,i). Es bleibt somit für den Fall, 

 da w oder a 4- bi noch a, + b, = , nur noch die Existenz 

 der Gleichung 5) zu zeigen übrig. 



Von dieser überzeugt man sich sehr leicht auf folgende Weise : 

 Sucht man alle möglichen Fälle auf, in welchen der ersle Theil 

 der Gleichung 5) nicht 0, so wird man stets diesen ersten Theil 

 nii( dem zweiten von demselben Werlhe finden, während der zweite 

 Theil in allen übrigen Fällen = ist. Ist z. B. jede der 3 Zahlen b, 



b, und a negativ, a, positiv und der absolute Werth - gleich oder 



kleiner als derjenige von -^, so folgt aus einer äusserst einfa- 

 chen geometrischen Betrachtung der Gauss'schen Zahlbilder von 

 a 4- bi und a, -I- b,i, dass in diesem Falle der erste Theil der 

 Gleichung 5) = -h 1 ; und diesen Werth gibt auch der zweite 

 Theil, da jetzt [1 — a,] [1 — a] = 0, b 4- b, = — 2, 

 1 ^. -a2-a,2aa^=2, ferner b=—I, ab = + 1, a^b,« — a,2b2 



= 4-1, weil eben dem absoluten W'erlhe nach-<-^, mithin 



a a, 



1 — b a b (a2b,2 — a,2b2) = 2 ist. Wäre aber unter übrigens 



gleichen Umständen der absolute Werth von - grösser als der 



ci 



von — ^, so würde dieselbe Betrachtung zu dem Werlhe für den 

 a, 



ersten Theil der 5) führen , und der zweite Theil ebenfalls 

 sein, weil in diesem letztern Falle nicht blos (1 — a) (1 — ai), 

 sondern auch [1 — b a b (a^b2 — ajh-f = wäre. Beide Theile 



der Gleichung 5) geben ferner sofort den Werth — 1 , wenn 

 b = b, = und a wie a, negativ ist; u. s. f. *j 



*) Es ist kaum nolhwendig noch tu bemerken, dass beim 

 Gebrauch der Gleichung 5) nur dann zu ermitteln ist, ob a^b,^— a,2b2 

 positiv oder negativ oder ist, wenn man bereits b + bi und 

 1 4 a2 — a,3 a ai verschieden von fand, und dass alsdann zum 



Zwecke jener Ermittelung nur die Differenz zwischen dem absolu- 

 ten Wertbe von ab, und dem von a,b auszuwcrlben ist, wobei in 



