Deiizlcr, Auflösung der Gleichungen des t*., 3. u. 4. Grades. 43 



Ist nun a -H l)i oder a, + b,i = 0, so kann von dem Stall- 

 finden der (ileichuiiu 5) wetieii der l'nhestimmtheil von arg. 

 gar nithl und von der l^ichligkeil der (lleichung 'i) nur dann die 

 Hede sein, wenn k posiliv isf . weil sonsl die Cileichung Uech- 

 nungsformen enthielte , die keine hestininilc Zaiden nielir dar- 

 zustellen vermögen , und nur dann in einzelnen besondern Fäl- 

 len eine bestimmte Bedeutung erhalten, wenn ihre Xachbarwerthe 

 bestimmbar sind. Ist aber, wenn a -I- bi oder a, -+■ b,i = 0, 

 k positiv, dann ist jeder der beiden Theüe der (lieichung \) 

 = und zwar für jeden beliebig gewählten Werlh von jli. 



Anmerkung. Wie wir die (lieichung 1) bewiesen haben, 

 genau so lässl sich der folgende allgemeinere Lehrsatz beweisen. 



Bezeichnen a, ai , ai . . . a„, b, bi, b? . . . b„ reelle Zah- 

 len, nicht ausgeschlossen, hingegen r, ri, r2 ■ • • r„ positive 

 oder negative ganze Zahlen, inclusive, so hat man die geson- 

 derte Gleichung: 



,(a+bi)'' + '^''- ,^(a, + M''"^''''- • • • r,(a.. -hb..!)'' + ''-' = 



= _^+,4-r,+ . .r.J(a+bi)(a,-hb,i). • • . a..-Hb„ij'' + '^'' 9) 



wo ,« = ^arg(a-f-bi) + arg(a,-f-b,i)+ • • • arg(a„4-b„i). 



Diese Gleichung findet immer Statt, wenn keine der Com- 

 plexen a + b' • • • a„ H- b„i Null ist. Für den Fall aber, da 

 von diesen n Complexen eine oder beliebig viele \ullen sind, 

 niuss k positiv sein, und jeder der beiden Theile der gesonder- 

 ten Gleichung ist alsdann für jeden beliebig gewählten Werth 

 von II der Null gleich. 



Beweis zu B. 



Wenn a -f- bi = , so kann jeder Bogen , der zwischen x 

 und — 71 liegt oder = .t ist , als ein Werth von arg (a + bi) 



betrachtet werden und es hat daher — ^3 j,rjT (a _|_ |)i) in die- 

 sem Falle die 3 Werthe 0, — 1 und 4- 1. Die Gleichung 7) 



unendlich vielen Fällen ohne wirkliche Ausfülirung der Multiplica- 

 lion erkannt wird, ob die DifTercnz zwischen diesen ahsolutcn 

 Werllien positiv oder negativ oder ist, um daraus sogleich auf 

 die zu ermittelnde Eigenschaft von a^t),^ — a,^b'^ zu schliesscn. 



