44 Dcnzler, Auflösuug der Gleichungen des 2., 3. u. 4. Grades, 

 existirl daher für diesen Fall nicht, wohl aber die Gleichung 6), 



A 



da TK(a-f bi)3, wenn a -+- hi = 0, für jeden Wcrlh von t gleich isl. 

 Ist aber a + bi nicht =: 0, so bestehen folgende Gleichungen : 



_ |(l mod. [(a 4- bi)"»] + 2 r ;r i + iarg [(a + bi)3]) 

 _j.lmod.(a+bi)4-|il2r;r+2,Tr3arg(a_j.|,j)+3arg(a+bi)j 

 =mod.(a+bi) . E'«''g(^+^') . Et'^'t'+^^argCa+bi)] 

 = (a+bi).Et"'t'^-^'3arg(a-fbi)] 



Dieser letztere Ausdruck, den wir für Tr(a + bi)^ fanden, ist, 

 wenn r = — T^ ^^„ ^^ _^ j^jn ^ offenbar = a 4- bi ; und es bleibt 

 somit nur noch die Prüfung der Gleichung 7) übrig , und zwar 

 blos für den Fall , da a 4- bi nicht 0. Suchen wir zu diesem 

 Behufe alle möglichen Fälle auf, in w eichen , w enn a^ -h b^ > 0, 



^3 arg (a + bi) nicht =: , so finden wir in jedem dieser Fälle 

 den ersten Theil von 7) mit dem zweiten Theil übereinstimmend, 

 während in allen übrigen Fällen der zweite Theil wie der erste 

 sich auf zurückzieht. So ist z. B., wenn a positiv, b positiv nnd 



- > „K^, mithin Sa? — b^ negativ, arg (a + bi) positiv und über 



-, daher — ^ßapg^^^j^jj = + i. Aber auch der zweite 

 Theil der 7) isl in diesem Falle, wie man sogleich sieht, = + 1. 



Bezeichnen wieder a, b, ai und bi reelle Zahlen, nicht 

 ausgeschlossen, hingegen i und — i die beiden Werthe von Y — 1 

 und bedeutet endlich r eine Zahl , welche und jede positive 

 oder negative ganze Zahl zu ihren Werlhen hat, so folgt aus 

 der Gleichung 



x3 + (a + bi) X + a, + b,i = 0. 10) 



