46 Denzler, AuriÖsung der Gleichungen des 2., 3. u. 4. Grades. 



Werihe coiiiridiren ; und diese 3 complexen Zahlen sind die 

 siunmllicheu Wurzein der Gleichung lOj. 



Beweis. 

 I. 



Der Kürze wegen se(zen wir: 



|/lK2-H/?,2)=M' |(y-r);r+|^.'.rc.cos ^^^^^==A J 



i (a? + /?2)=M f TTt + y ^arc. cos y^^^^ = A , 



o 



ferner den zweiten Theil der Gleichung II), nämlich: 



M' cos A^ + M cos A^4- i (M' sin A'^ + M sin A^) = x^ IG) 



endlich 



2 • 9 . 



^ .T I — I -T 1 



E oder | (- I + i ^fd) = o> , mithin E 



oder I (- 1 — i fS) = a>2 17) 



und begründen nun folgende Behauptungen : Ist x^,, das ist die 

 aus der Complexen x^ durch Setzung des v für t entstehende 

 Complexe , wo r irgend eine positive oder negative ganze Zahl 

 oder bedeutet, ein vollkommen beliebig gewählter Werlh von 

 Xj- , so wird jeder der übrigen Werthe von Xj entweder mit x,, 

 oder Xy_l_l oder x^—i übereinstimmen, und es ist dabei statt: 

 \,l = M' (cos A'^+ i sin Ap w2 + M (cos A^, -+■ i sin A^) &> 18) 

 \_4 = M' (cos A^-{- i sin A'^) «u -|- M (cos A -+-isinA^) 0)2 19) 

 Vorerst bemerken wir, dass jeder Werth von x^ sich offenbar 

 entweder durch x^_^3ni oder x^ 4_ 3,,^ _1 , oder x^ + 3,ji_|_i, 

 wo ra eine positive oder negative ganze Zahl oder 0, ausdrücken 

 lässt. Nun ist nach dem Vorhergehenden leicht einzusehen, 

 dass wenigstens dann, wenn weder a"^ + ß- noch a,'^ -b ß,- = 0, 

 folgende Gleichungen bestehen : 



