Deiizler, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. u. 4. Grades. 49 



isl nach dtMi Gleichungen 13), welche die Bedeutung von ai, ß\, 

 a und ß geben = — (a, -f- h,i). 



Beweisend die Gleichung 21) helrachlen wir zuerst den Fall, 

 da a,2 -h /y,2 = 0, mithin «i = /3, = isl. In diesem Falle ist 

 nach den Gleichungen 13)s = — a, . qd = — b,, mithin ver- 

 möge der nedoutuug von s und d 



P + u*^!'- -i- q' = 2a,= und - |) + „Kp- -+- (i- = 2h,- 



Aus diesen 2 Gleichungen ergibt sich sehr leicht, dass p = a,2— b,2 

 und q2 = 4a,-b,- isl. Ich beliauptc nun, dass immer q = 2a,b, 

 ist. Diess findet oflcnbar statt, wemi a,b, = 0. Ist aber weder 

 a, noch !>, = ü, so beilenke man, dass s = — a, . mithin, da 

 s nach seiner in 13) angegebenen Bedeutung nur positiv sein 

 kann, a, nothw enig negativ sein muss ; dass ferner, weil qd = — b, 

 und d wieder nur nach seiner BedeutuJig positiv ist, b, positiv 

 sein nmss; wenn q negativ, hingegen negativ, wenn q positiv 

 ist. Hieraus folgt olleidiar , dass q nicht = — 2a,b, sein kann, 

 weil sonst bei dem Imstande, dass a, negativ, q und b, beide 

 zugleich positiv oder zugleich negativ wären, was nach dem 

 Bewiesenen unmöglich isl. Da nun q- = 4 a,^!),^ und q nicht 

 = — 2a,b, sein kann , so muss q auch in dem Falle , wo a,b, 

 nicht , = 2a,l), sein. Sehen wir jetzt auf diejenigen der Glei- 

 chungen 13), durch welche die Bedeutung von p und q festge- 

 setzt wird, und beachten, dass nach dem Bewiesenen p = a,^ — b,2 

 und q = 2a,b,, so finden wir sogleich, dass ^ a? — - ab2 = 

 = |a-b— ;]yb3, mithin a^ = 3ab- und 3a-b = b^ dass daher 

 auch 3a% = 9ab^ und 3a% = ab"' isl. 



Diese 2 letztem Gleichungen zeigen sofort , dass wenigstens 

 eine der zwei Zahlen a und b = sein nmss. Ist diess aber 

 der Fall, so beweisen die Gleichungen: Sa^b =b3 und a^ = 3a^b, 

 dass a und b zugleich \ullcn sind. Wie wir nun gezeigt haben, 

 dass a = b = sein muss, wenn a,^ -\- ß^'i =z Q ist, genau so lässt 

 sich darlhun, dass a und b ebenfalls Xullon sein müssen, wenn 

 u? + ß' = 0; woraus oll'enbar folgt, dass die Gleichung 21), wo 

 6 t; 



M' = J^^j («,2-1-/^,2) im(\M = \^^^(a--hß'), exislirl, wenn von den 

 2 Summen a,2 + /?,2 uuj „2 _|_ ^2 pj„g ^j^p j^j^» __ q j^j 

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