50 Denzler, Auriösiiiig der Gleichungen des 2., 3. u. 4. Grades. 



Wenn nun weder a} -t- ß? noch a- -h /J^ =; o isl , dann 

 lässt sicli die Kxiäleuz der Gleichung 21) wie folgt beweisen. 

 Es ist 



,^ J\ y^\ + :7i ß, arc.cos , 



M' (cos a; 4- i sio A;) = \\{a^^-ß;-) E " „»^«,*+ä2 



_ ^^|[^'^^^H?J+27.-Ti-+-iargK-»-^,i)] 

 f/f 173 t' mod.(a,+^,i) + i(2j'.T + arg(a, +/?,!))] 



Ebenso flodel man: 



3_ • 1 



M (cos Ao -h i sin AJ = ^\ • Ja, + ß,\f 

 Es ist demnach: 



M'(cosAo + i sin Ao) X M(cos Ao + i sin A„) = 



311 



= o|/| }-(«, + Äi)'. o(«+/?i)f 24) 



Nqq hat man nach §. 3. A) folgende Gleichung: 



1 1 1 



y{a, + ß,\i^- „(a -f- ß\f = y.^,[{a, + 3.x) (« + ^i)j'^ 25) 



WO ,« = Farg (a, + ^,i) + arg (a + ß\) 26) 



und nach den Gleichungen 13), welche die Bedeutung von u,, 

 ß,, a, (J, s und d geben: 



(a, + /?,i) (a + /?i) = [— a, — b,i — (s + qd)i] [ - a, - b,i + (s + qd)i] 



= (a, + b,i)2 — (b2 - d2 + 2qdsi) 



= (a, -+- b,i)2- (p + 2qi „K|q2) =(a,+b,i}2-(p+qi) 



Da nun (a, + b,i;2 + -*_ fa + bip nur nach der in 13) enthaltenen 

 Bedeutung von p und q, mit p + qi übereinstimmt, so ist 



[a, -H ß,\) (a + /3i) = ^ (— a — bi)\ und man darf daher aus der 

 Gleichung 25) auf folgende schliessen: 



