Ütfiizler, Auflösung der Glcichiiti^en des 2 , 3 u. •'«. üiadfü. 53 



\uii weiss man aus I , dass wenn Xy irgeml ein NVerlh 

 \on Xf ist, alle ühiiuen Wcrllic \on \j. cnlwetier niil Xy_^i 



oder iy_i coincidircn , und dass ^v+i ^^ l*'vO>^ + l\<» > 

 Xy_, = P^oj 4- V^<o- ist. Hieraus folut, dass, da P'^-+- P« oder 

 Xu ein Wcrili von Xj. , alle übrigen Werllie von x^ enlweder 

 mit x, = P\o2 -)- p^w oder niil x_, = P^<o -+- P^w^ übereinstim- 

 men niüssscn. Da nun x„, X|, x_, einerseils die säniinllichen 

 Werllie von x^, und anderseits nach der Gleichunsj 3"J) die 

 sämmllichen Wurzeln der Gieiibung 10) sind, so folgt hieraus 

 die Wahrheit der Behauptungen unsers Lehrsatzes. 



Anmerkung. Die Fälle, in welchen entweder nur eine 

 der zwei Summen a^-\-ß^ und a? -\- ß'^=.Q, oder jede = ist , 

 können nur dann eintrclen, wenn a = b = ist, da nach dem 

 bereits Kewiescnen a = b = sein muss, wenn u? -\- ^fl ■=.^ ^ 

 und auch dann, wenn a,2 + /j',-i=0 vorausgesetzt wird. 



Ist nun a =: b = 



Man findet nämlicli sehr leicht, wenn a = b = 0, dass 

 s = yV? = a, a, , d ^„K'b^^l^b,, q = 2a,b, ; mithin a,=-a, - a,a,, 

 ;3, = — b, -^,1), I), b, , a = — a, + a,a, , ß = — b, + a,h, h, b, ist. 

 Ausser den angegebenen 5 Tällen gibt es otTeubar keine mehr, 

 in welchen a^-^ß? oder a2 4-/?2 = wäre. In allen diesen 

 Käuen wird nach der Gleichung 12) 7=1, während die Glei- 

 chung lij mit Ausnahme des zweiten Falles das y immer unbe- 

 stimmt lässl und im zweiten Falle nur dann eine beslimmic Zahl 

 und zwar 1 gibt, wenn a, negativ und b, = ist. Üiess beweist 

 aber keineswegs die Unzulüssigkeit der Gleichung 1 i) Tür einige 

 Fälle, denn im drillen Falle ist x^ immer = und völlig unab- 

 hängig von 7, so dass man in diesem Falle in 11) für y jede 

 positive oder negative ganze Zahl oder ü selzen darf. Diese Un- 

 abhängigkeit findet aber auch in den übrigen 4 Fällen statt; 

 denn nach 11) ist 



