52 Denzler, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. u. 'i. Grades. 

 WO sich die Hedeutung vou u, y, z und X aus folgcudcm ergibt: 



u2, y2 und z2 sind die 3 Wurzeln der Gleichung: 



x3 + i (a +bi) x2h- ^ [(a + bi)2-4(a2 + b2i)]x- Jj(a,+b,i)2=0 45) 



Beweis. 



Wenn jede der drei Zalden u^, }2 q^j j? verschieden von ü, 

 so hat X, sobald für z und r, beslimrale Werlhe angenommen 

 werden , stets einen bestimmten aus der Gleichung 43) sich er- 

 gebenden Werrh, während dieses X für die Fälle, da von jenen 

 3 Zahlen nicht jede verschieden von 0, wegen der Unbestimmt- 

 heil von argO, unbestimmt bleibt und unabliängig von t und r, 

 wird. Ich beliauple nun, dass in jedem Falle jeder Werlh des 

 zweiten Theils der Gleichung 43) nut einer der folgenden vier 

 Summen übereinstimmt : 



/^ + /^ + yfi^= w, \ 



— ol^Ü^_ f^ + j,f^= Wi 



wo, wenn keine der Zahlen u^, y2 u^d i- = 0, »"=^(1 a,) -f- 



•i (1 -l- - a,2) (I — ^,) -h 1%,.. u2+arg7?^arä z^' dagegen, wenn nicht 



jede von den drei Zahlen u^, y2 und z2 verschieden von ist , 

 V irgend eine bestimmte, aber vollkommen beliebig gewählte 

 positive oder negative ganze Zahl (0 inclusive) bedeutet. 



Fassen wir zur Behandlung des ersten dieser 2 Fälle irgend 

 einen der Werthe des zweiten Theils der Gleichung 43) ins 

 Auge, z. I». c/^u^ + ßlT^ -\- xfz-, so werden wir, erwägend, 

 dass cXii^ nur die Werthe „l^u^ und — o^u^ ferner ßVy- nur die 

 Werlhe ol^y2 und — „'^y^ haben kann, sogleich finden, dass un- 

 ter den 4 Summen w,, W2> W3 und W4 gewiss eine vorhanden 

 ist , bei der die Summe der zwei ersten Summanden mit 

 j,K'u2 + ßf}'^ zusammenfällt. Es sei diese etwa die dritte, uäm- 



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