Denzlcr, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. u. i. Grades. ß3 



lieh — Ku^ + „Ky2 — ^Yl2_^ dann ist, wie leicht einzuselien, 

 a = 2n + 1 und /?r=-2m, wo n und ni posilive oder nocativc 

 ganze Zahlen (0 inclusive; bozcichnon , woraus mit Zu/ieliung 

 der Gleichung 4i) und der Hcdeuinng von v folgt, dass jetzt 

 X= — ("in + 1 ) — 2ni + I' ist. .Nun findet man ohne Mühe, dass 



if^ oder _ 2„ _ 1 + 2m + v"^^ := ^.^r^ = ^r? E"' = - v"^^ 



mithin ß)'^ + ßl'^ + ;irz2 vollständig mit vv. übereinstimmt. 

 Auf gleiche Weise Hesse sich diese Uebercinslimniung nachwei- 

 sen , wenn die Gleichheil von ^\x- -\- ßK^y- mit der Summe der 

 zwei ersten Summanden in w, oder W2 oder w-, vorausgesetzt 

 würde. 



Im zweiten der oben erwähnten 2 Fälle ist unsere Behaup- 

 tung für sich klar, wenn z ^ wäre. Ist aber z nicht 0, son- 

 dern etwa y, so fragt es sich nur, ob ^Ku^ -f- ßK^, wo a und ß 

 wieder völlig beliebig gewählte Werlhe von x und t, bezeichnen, 

 mit einer der vier Summen w,, w, , w- und w^ zusammenfällt. 

 Aber diese Frage wird man sogleich bejahend beantworten, wenn 

 man bedenkt, dass Jfvr noihwendig entweder mit o^u^ oder 

 mit — o*^""» u"d ß'''z- entweder mit ^Y-i.- oder dann mit — .^i' 

 coincidiren rauss. 



IF. 



Wir haben jetzt nur noch zu beweisen, dass die vier Sum- 

 men w, , Wj, w^ und Wj die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 

 42) sind. Zu diesem Zwecke ist es nothvvendig und hinreichend, 

 darzuliiun, dass folgende 4 Gleichungcu Stall linden: 



w, 4- Wo -t- W3 4- w^ = 47) 



W,W2 -t- W,W3 + W,W, + WjW. 4- W2W-, -\- W-W-, = 3 + l>i ^8) 



W/W2W3 -+- w,W2W4 4- w,W3W4 + W2W3Wi = — (a, + b,i) 49) 

 w,W2W3W4 = aj 4- bji 50) 



Die erste dieser Gleichungen wird sofort als richtig erkannt. 

 Den ersten TIeil der Gleichung 48) findet man durch sehr ein- 

 fache Ileduclioncn = - 2(u'-f-y2 -\- z^), was nach der Uedeu- 

 tung von u-, y^ und z^ und der bekannten Eigenschaft des (loef- 

 iicienlen von x^ in einer Gleichung des dritten Grades gleich 

 a 4- bi ist. 



