^4 Denzler, Auflösung der Gleichungen des 2., 3. n. 4. Grades. 



Ferner findel man, heaclilend , dass Wt + w-, = — (Wj -1- w?), 

 den zweiten Tlieil der Gleichung 49) = (wi -t- W2)(W3W4 — W1W2) 



Nun ist , wenn jede der Zahlen u^, y- und z^ verschieden von 0, 

 nach der Gleichung Ol : 



ofu« . o»^) 2 . ^^22 =_^4-yru2.y2.z2, WO ^i = r„gu2 ^ „g ,2 ^ „g ^2 



und da u2, y2 und z2 die Wurzeln der Gleichung 45) sind , mil- 

 hin u2y2z2 = ^ (a, + b,i)2 sein muss, so ist auch 



/:2./^./^=:^^^^V^(a,+b,i)2 



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Aber aus dieser lelzlern Gleichung kann man genau so, wie 

 man von der Gleichung 27) auf 28) schloss, auf folgende schliesseu : 



Xü- . Xy- ■ v^^- = l -ju+v^''(a, -T- l),i)2 



Nach der Bedeutung von u und v isl nun — ,u -h v = -^ {i a,) 



-+- I (I + - a,2) (1 b,), und daher nach dem in §. 7 vorgetra- 

 genen Leiirsalz _^_(_yK7ä7+Tv)^ =—(«''/+ 'j/')» woraus folgt, 

 dass der T' Theil der Gleichung 49), den wir = 8 oK'Ü2^ry2 »^z^ 

 fanden, = - (a, + b,i) isl, wenn keine der Zahlen u2, y2 und z2 

 gleich Null isl. 



Wenn aber nicht jede der Zahlen u2, y2 und z2 verschieden von 0, 

 so ist offenbar der 1'" Theil der Gleichung 49), oder 8„rü2„J^y2^rz2, 

 sowie auch u2y2z2 ynj niilhin auch ^ (a,-r b,i)2 gleich 0, woraus 

 sofort die Richtigkeit der Gleichung 49) hervorgeht. 



Berechnen wir endlich zur Untersuchung der Gleichung 50) 

 das Produkt aus wiw2 oder u2 — (uK'y2 + X^'^i^ '" '^j'*** oder 

 u2 — (o^^y' — X'^^^Yi so finden w ir für den ersten Theil der Glei- 

 chung 50) : u' + y^ -t- z^ — 2(u2y2 + u2z2 + y^z^). Da nun diese 

 Differenz mit 4(u-j2 + u^z^ -+- y2z2) das Quadrat von (u2+y2 + z2) 

 ausmacht, so isl sie auch = (u2 4- y2 4-z2)2 — 4,'u2y2_j_u2z2 + y2z2); 

 und diese letztere Differenz isl vermöge der Eigenschaften, welche 

 die Coeffizlenten von x^ und x in einer Gleichung des 3''" Grades 

 besitzen, = [—i(a-|-bl j]2- 4 . X [(;,+bi)2-4(a2+b2i)]=(a2+b2i) , 

 was noch zu zeigen war. 



