Dedekiud , niatheinatiscbc .Mittbeilungen- 349 



»tw 6* cos scp + i sin & sin scp = {sin & cos (p + i sin S sin cp)' , 



worm i = y-~\ ist. 



Also ist die Form (1) eine solche oben verlangte 

 Normalform. 



Wir haben jetzt die allgemeinste Form der ra- 

 tionalen ganzen Functionen y, , ^3 von cos ® zu su- 

 chen, für welche der Ausdruck (l) eine Kugelfunction 

 n" Ordnung wird, d. h. der Differentialgleichung ^1 

 genügt. Bezeichnen wir zur Abkürzung cos 0, so 

 weit diese Grösse in den Functionen y^ , z^ vorkommt, 

 mit x, so dass also dx = - sin & . rf0, und unterwer- 

 fen wir den Ausdruck (1) der Differentialgleichung (I), 

 so erhalten wir (da nach dem Vorhergehenden der 

 Cocfficicnt von cos scp , so wie der von sin scp in der 

 entstehenden Gleichung für sich = sein muss) das 

 Resultat, dass die beiden rationalen ganzen Functio- 

 nen </, , z^ von X = cos Lösungen der linearen Dif- 

 ferentialgleichung 2'" Ordnung 



[n(n -f- II - s($-+- l)]u - 2(« -h t) t'^-\- d - ^^)^ = W 



sein müssen. Und umgekehrt leuchtet ein, dass dann 

 der Ausdruck fl) eine Kugelfunction n" Ordnung 

 sein wird. 



Diese Differentialgleichung [s] wollen wir nun 

 untersuchen , dabei aber auch die Falle betrachten , 

 in welchen s eine negative ganze Zahl ist, wah- 

 rend wir n stets als ganze positive Zahl oder Null 

 voraussetzen. Durch Differenliation der Gleichung [*] 

 erhalten wir 



