Dedekind. mathematische Mitlhciluiigcn. 351 



d'y cT^z _ d^ l dy (i: | 

 * J^ " '-^ dj2 — rf,T r dx '-'da-A 



ist, so erhalt man durch Integralion 



du dz Cotist 



dx " dx (a;2_ 1)8 + 1 



Sind nun y und z ganze rationale Functionen von r. 

 und ist ." eine der Zahlen 0,1,2,..». so kann 

 diese Gleichung nur bestehen, wenn Const = ist; 

 daraus folgt 



du dz 



'd^ = y di.' ^-t<'"-^'-v- 



was zu beweisen war. 



Da auf diese Weise die allgemeinste Form der 

 Functionen y, , ;:, für ein positives s < n gefunden 

 ist. so fragt sich nur noch, ob auch für *• > n ganze 

 rationale Lösungen der Gleichung [s] existiren. Nimmt 

 man an, dass r der Grad einer solchen Lösung sei, 

 so erhalt man unmittelbar durch Einsetzen in die Dif- 

 ferentialgleichung [s] und Vergleichung der Coefficien- 

 ten von x^ die Gleichung 



n (/( 4- 1) — s (« + 1) -- 2 (s 4- 1) r — r (r — 1) = 



oder 



n i« -H 1 ) — (r -h s) (r 4- « -I- 1 ) = , 



woraus 



r -\- s = n oder = — (n + 1 ) 



folgt. Ist daher s > n, so würde in beiden Fällen r 

 negativ ausfallen; also existirt keine solche Lösung. 

 Auf diese Weise haben wir als die allgemeinste 

 Form einer Kugelfunction n'" Ordnung 



y = 2 («. <■<»•' "(P -H /^. *■•" x(P) ^" ^ ^(i^' — 1)" • sin e' 



gefunden, in welcher «. . (i, ganz willkürliche Con- 



