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slantcn bedeuten, deren Anzahl = 2n + 1 ist, und 

 wo X = cos & ist. 



4. 



Obgleich im Vorhergehenden die ursprüngliche 

 Aufgabe ihre vollständige Lösung erhalten hat, so 

 wird es doch nicht unangemessen sein, die schönen 

 Sätze von Jacobi und Andern aus derselben Quelle, 

 aus der Differentialgleichung [s] abzuleiten. 



Ist A eine ganze Zahl zwischen o und + w, so 

 folgt aus dem vorigen Artikel, dass 



eine Lösung der Differentialgleichung [- s] ist; diese 

 ganze Function ist offenbar theilbar durch {x^-\)'\ 

 setzen wir daher 



D°-^(a;2 - l)" = (x2— 1)'«: 



und suchen wir die ganze Function w zu bestimmen. 



Setzen wir, ganz abgesehen von der dem w bei- 

 gelegten speciellen Bedeutung, den Ausdruck {x^-\Yio 

 in die Differentialgleichung [- s] ein , so ergiebt sich , 

 dass w der Gleichung [s\ genügen muss, woraus der 

 allgemeine Satz folgt: Wenn ti? der Differential- 

 gleichung \s] genügt, so genügt [x'^-Vfw der 

 Differentialgleichung [-*], und umgekehrt. 



Dies auf unsern Fall angewendet (in welchem 

 < s < -H n) giebt das Resultat, dass die ganze 

 Function 



sein muss. 



Setzt man dies in die vorige Gleichung ein , so 

 erhält man durch Vergleichung der Coefficienten von 

 ^.u + 6 auf beiden Seiten, den Satz von Jacobi: 



