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hinction 1 aus ; nimmt man daher ein beliebiges an- 

 deres Polarcoordinatensyslem, d. h. einen neuen Pol/)' 

 und einen neuen Anfang smeridian, und bezeichnet 

 mit CO die neue Polardistanz p> , mit i) den Winkel, 

 den der Meridian p'^ mit dem neuen Anfangsmeridian 

 bildet, so muss 3', als Function der neuen Coordina- 

 ten (0.1p, der partiellen Differentialgleichung 



w(n-M) stno). r+ -r- [sin (a • -r- I + -: — V— s= (VI) 

 dö) y rfü)/ sinco dt^2 



Genüge leisten. Ferner ist aus der Theorie der Trans- 

 formation orthogonaler Coordinaten bekannt, dass jede 

 der drei Grössen 



cos & , sin cos cp , sin © sin cp 



eine homogene lineare Function der drei Grössen 



cos <o , sin CO cos ip , sin (o sin ip 



ist (und umgekehrt). Also ist Y auch eine ganze 

 rationale Function dieser drei letzten Grössen. Wir 

 sehen also , dass die ursprünglich aufgestellte Defini- 

 tion einer Kugelfunction ganz unabhängig ist von dem 

 zu Grunde gelegten Coordinatensystem. Bezeichnen 

 wir daher zur Abkürzung cos u mit A , so findet stets 

 eine Identität von folgender Form Statt : 



n 



} = 2 (a, CO« s(f> + ß, sin scp) sin & • />" + ^{x^ — 1)" 







n 



= 2 («» cos s\p ■+■ b, sin sip) sin «a' • /)" + ^(A.2 — 1 )" . 



o 



6. 



Wir benutzen die Resultate des vorigen Artikels, 

 um folgende Aufgabe zu lösen: Die allgemeinste 

 Form einer Kugelfunction «*" Ordnung 



