358 Dedekind , mathematische MittheiUingon 



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Statt diese Aufgabe durch die Bemerkung anzu- 

 greifen, dass die beiden partiellen Derivirten dieser 

 Kugelfunction nach 0, und nach &' genommen, sich 



verlialten müssen, wie ^ und ^, wodurch man eben- 

 falls zum Ziele kommen würde, schlagen wir einen 

 andern Weg ein, indem wir zunächst mit den uns zu 

 Gebote stehenden Hülfsmitteln den bekannten Satz 

 beweisen, dass, wenn Y = f {0, cp] eine beliebige 

 Kugelfunction /?"' Ordnung bedeutet, 



J- 



1 D" (A2 - D" • da = ^i^ . 2" /7(n) • Y 



ist, worin die Integration links über die ganze Ku- 

 gelflache auszudehnen, und F = /" (0', cp'] ist. 



Zu dem Zwecke denken wir uns 1 als Function 

 von ö , t/; in die Form 



n 

 F = 2 («s COS si/; + b, sin st/;) sin co' • ö" + ®(X2 — 1)" 







entwickelt, und zerlegen die Kugelfläche diesen Coor- 

 dinaten «, ip gemäss in unendlich kleine Elemente 

 dö — sin a des #, so erhalten wir 



I FD" (X2 - 1)" da = I D" (X« - 1)" sin to d (olYdxp 

 Z)" (X2 -- 1)" smtü da> . 2a' • a„ • D" (A2 — i)" 



= 2;r aS[D" (X2 - i)"]2 dX = ^^^ • [2" /Z(n)]2 • a„ . 



Setzen wir aber in der obigen Form für Y die Va- 

 riabele m = 0, also A = 1 , so wird Y = f{®\ <p') = F, 

 und folglich (Art. 4.) 



