Dedekind, mathematische Mittheilungen. 359 



)'■ = rt„ . [/>" (X2 - 1)"J^^ ^= «., /i,. = a„ • 2" i7(n) . 



Wir erhalten daher 



/■ 



YD" (X2 - 1 )" da = 2^i^ • 2" fl(n) • F' ; 



was zu beweisen war. 



Dieser Satz bildet die Ergänzung: zu dem andern 

 Satze, dass, über die ganze Kugelfläche ausgedehnt, 



J^ 



ZY da = 



ist, wenn Z und Y Kugelfunctionen von verschie- 

 denen Ordnungen bedeuten. Dieses folgt unmittel- 

 bar aus der Gleichung (IV) , wenn man bedenkt, dass 

 in diesem Falle das dort stehende Integral rechts weg- 

 fällt , und dass das zweite Integral links symmetrisch 

 in Bezug auf 1' und Z ist; denn daraus folgt 



wenn m die Ordnung der Kugelfunction Z ist. Wenn 

 nun m und n verschieden sind, so ergiebt sich un- 

 mittelbar der zuletzt aufgestellte Satz. 



8. 



Wir können nun leicht die Coefficienten y, in der 

 Entwicklung von D" (A2-1)" in Art. 6. bestimmen, 

 nach einem von Dirichlet angegebenen Verfahren. 

 Setzen wir nämlich in dem ersten Satz des vorigen 

 Artikels die specielle Function 



I' = cos scp ■ sin e' • Dn + 8(x2 — i)" , 



also 



}■■ = cos scf>' • sin G" ■ D" + 8(ar'2 — 1)", 



ein, so wird, wenn wir die Entwicklung von D" (A— 1)" 

 substituiren, die KugeHläche, dem Polarsystem &, (p 



