3()lj Dcdekind . mathcroalische Miltheilungen. 



gemäss, in unendlich kleine Elemente rfö = sin ® d@d(p 

 zwlegfcn, nnd die Variabein x = cos® einführen, 



fYD'W-i)"do=y,sine"D''^'(x"2-\)".cosscp'. -^ • ^^^ [2"/7(n)]2 

 •' > /s y , -r 2n+l H[n-$) 



lur ein von Null verschiedenes ?, während für * = ü 

 der doppelte Werth zu nehmen ist. Da nun dies 

 Resultat mit 



*^ , 2" J7(n) 1"= — ^ . 2" 77 (n) . cos scp' . sin0" D"*'(x'^- 1)" 

 2«+ 1 2« + 1 ^ ^ ' 



identisch sein muss, so folgt, wenn .« von Null ver- 

 schieden , 



, _2 ^ njn-s) 



2" //(«)' /7(n + «) 



dagegen 



1 



'" 2"J7n 



Folglich ist 



/>•> (X2 _ 1)" = 



2 .2 ^1" ~ ^1 . sin 0'O"+'{^^-l)". s»w 0''Z>"*'(a;'2-l )". cos s{cp-cp'). 



2"J7(n)^i7(M + s) 







worin aber für * = das entsprechende Glied auf 

 die Hälfte zu reduciren ist; diesen Uebelsland ver- 

 meidet man in der Form 



/>" (A2 - I)" = 



_1— . S^^^ «m0^D"-^''(a;2-l)".«iwe''Z)"+'(j-'2-l)". cos s{cp-cp') , 

 2 i7{n) '**i7(n+«) 



— n 



die man leicht aus der vorhergehenden ableitet. 



9. 



Zum Schluss wollen wir noch den Zusammen- 

 hang der letzten Untersuchung mit gewissen Reihen- 

 entwicklungen bemerken. 



