Dedekiiid, raathcmalischc Mitlheiluiigcu. 3()l 



Bezeichnet / die Entfernung eines Punctes, des- 

 sen rechtwinklige Coordinaten 



I = p c'ti* ö , r] — (t sin t) cos cp , ^ = (j sin sin (p 



sind, von einem festen Piincte, so genügt hckannt- 

 lich die Function " = - der partiellen Diil'erential- 



gleichung (III) und folglich auch der Gleichung (II). 

 Nehmen wir als festen Puncl einen Punct der mit 

 dem Radius = I heschriebenen Kugelflachc, dessen 

 Coordinaten 



^' := COS S' , fj' = sin O' cos cp' . ^' = sin S' sin cp' 



sind, so ist 



»•2=1- 2X(j -+- (>« , 



worin 



}. = cos <o = cos & cos &' -+- sin & sin &' cos (cp cp'). 



Entwickelt man daher - in eine unendliche Reihe : 



r 

 1 ^ ^ = S />., (X) . (>•■ , lur (> < 1 



worin /*„(A) eine rationale ganze Function von A be- 

 zeichnet, so ist 



1 



9 V 



und /*„ (Aj ist eine rationale ganze Function von cos 0, 

 sin @ cos (p, sin & sin cp, welche der partiellen Differen- 

 tialgleichung (I) Genüge leistet, folglich eine Kugelfunc- 

 tion n'" Ordnung ist. Da sie aber die Variabein 0, cp 

 nur in der Form A = cos w enthalt, so ist (nach Art. 6.) 



P„(X) = Const . £>"(A2 - D" = A-„ />"(X2 — 1)", 



worin nur noch die konstante /.„ zu bestimmen ist; 

 diese ergiebt sich für A = I ; denn man erhält 



