Del Sic. Agostino Cauchy i43 



in z, nella quale il termine indipendente da s e il termine pro- 

 porzionale a z sono affetti di segno contrario, o dallo stesso 

 segno, sficondochè si suppone x^=-x , ed x=-\. Egli è facile 



di concluderne che il numero delle radici reali comprese fra 

 i limiti ;t; , X, è sempre eguale od inferiore al numero delle 



variazioni di segno che prende la trasformata in s, quando si 

 passa dalla supposizione x=x -f-z alla supposizione x-='K-\rZ. 



Questa conclusione contiene il teorema che il sig. Budan ha 

 dato nella sua Memoria pubhlicata nel 1806 e che trovasi 

 nell'opera postuma del Sig. Fourier intitolata: Analisi delle 

 equazioni determinate. Del resto osserviamo che seguendo per 

 dimostrare questo teorema e quello di Cartesio il metodo ([ui 

 sopra indicato, si suppongono tacitamente le radici reali della 

 equazione (186) semplici e diverse le une dalle altre. Ma per 

 far vedere che gli stessi teoremi estendonsi al caso in cui 

 l'equazione (186) dà delle radici ugnali, basta sostituire alla 

 formola (204) quella che si dedurrebbe dall'equazione (»83) 

 combinata con le equazioni (164) e (aoS), oppure anche, attri- 

 buire alle radici reali che fossero fra loro eguali, degli au- 

 menti infinitamente piccoli e disuguali in modo di rendere 

 tutte le radici reali diverse. Poiché operando cosi, non si al- 

 tererebbero che infinitamente poco i coefficienti positivi o 

 negativi della equazione in x, o delle sue trasformate in z, 

 e per conseguenza non si altererebbero i segni di questi coef- 

 ficienti. 1 '. j • . 



Aggiungasi che se nelle equazioni in x e z di cui trat- 

 tasi, alcuni dei coefficienti si riducessero a zero, converrebbe 



mettere invece di x, x , X; xh-.-, x -i-f, X-l-£, essendo il nu- 



o o 



mero e infinitamente piccolo , e poscia prendere gli aumenti 

 infinitamente piccoli delle radici, in modo che potessero venir 

 trascurrjti in confronto di e e delle potenze di e delle quali si 

 dovesse tener conto. Si potrebbe a cagion d'esempio, suppor- 

 re questi aumenti proporzionali ad una potenza di e di cui 

 r esponente superasse il grado della data equazione. 



