Del Signor Cauchy 22,9 



modo alcuno di segno. La quantità -+- i nel primo caso — i 

 nel secondo, zero nel terzo, sarà ciò che io chiamo l'indice 

 della funzione u per il dato valore a della variabile x-, e l'in- 

 dice integrale di 11 preso fra i limiti 



X ■^x , a;=X>;t;, 



o o 



non sarà altro che la somma degli indici corrispondenti alle 

 diverse radici dell'equazione (i) contenute fra i limiti di cui 

 si tratta. 



Io indicherò questo indice integrale con la notazione 



essendo qui l' uso delle parentesi doppie lo stesso che nel 

 calcolo dei residui. Ciò posto si stabilirà facilmente la se- 

 guente proposizione. 



i." Teorema. Sia u una funzione reale di x che fra i li- 

 miti x=.x , a-=X, non cangi mai di segno senza passare per 



zero o per 1' infinito, ed m , U li due valori di u corrispon- 

 denti ai valori reali x , X della variabile X. La somma 



o 



W OM)-<(a)) 



^ " • •• .) , jq 1 



I) [' 



equivalerà allo zero, se le due quantità u , U sono dello stesso 



segno, a -t-i se la prima essendo negativa, la seconda è posi- 

 tiva, a — I , se essendo positiva la prima è negativa la se- 

 conda. 



Dimostrazione. Se si fa crescere x per gradi insensibili 

 dal limite x sino al limite X, i soli valori di x ai quali cor- 



o 



rispondono degli indici di u, o di-^ differenti da zero, saranno 

 quelli per mezzo dei quali la funzione u diverrà infinita can- 



