Del Signor C/.uchy 287 



sarà in forza della formola (18) una quantità finita ma diversa 

 dallo zero affetta dello stesso segno di A ; in conseguenza 



del segno stesso di u . Ciò posto si dimostrerà facilmente la 

 proposizione seguente. 



3.° Teorema. Siano u, v due funzioni reali ed intiere di 

 X, e supponiamo che le due equazioni 



(19) M = O 



(ac) z) = o 



offrano, la prima m radici, la seconda n radici eguali e reali 

 di cui sia a il valor comune, l' indice della funzione 



(a,) 



V 



u 



corrispondente ad x=ia sarà zero, se la differenza m — n è pari 

 o negativa. Ma se questa differenza è dispari e positiva, l'in- 

 dice suddetto sarà H-i, o — i secondo che il valore del rapporto 



(22) -^"^ 



(m) 



1 



corrispondenti ad x=a sarà positivo o negativo. 



Dimostrazione. Nella ipotesi ammessa se si attribuisce ad 

 X un valore prossimo quant' è possibile ad a, le due frazioni 



(.3) 



(x— a) (x — a) 



acquisteranno valori finiti ma differenti da zero, il primo dei 



(m) 



quali sarà una quantità affetta dello stesso segno che u , 

 e il secondo una quantità affetta dello stesso segno v . In 



