244 Calcolo degli indici 



6." Teorema. Il numero delle radici positive di una equa- 

 zione ii=.o nella quale u indica una funzione intiera di x , 

 non può superare il numero delle variazioni di segno, che si 

 ottengono confrontando due a due i termini che si succedo- 

 no immediatamente nella funzione u. Il numero delle radici 

 negative non può superare il numero delle permanenze di 

 segno somministrate dal medesimo processo. 



Nota. Dopo di aver stabilito, come più sopra si è S|)ie- 

 gato, la prima parte del Teorema 6.° basterà per dedurne la 

 seconda parte sostituire — a; ad x- Osserviamo ancora che se 

 nella funzione ii li coefficienti di più potenze della variabile 

 X si riducono a zero, basterà perchè cessino di svanire, so- 

 stituire .rrte, indicando con £ un numero infinitamente pic- 

 colo. In questa maniera si assicura facilmente che nella appli- 

 cazione del teorema di Cartesio si può lasciar di tener conto 

 dei termini che scompariscono. ;,..,.^ 



Se nel teorema 3." si sostituisca alla funzione — ' U'j 



II 

 (■ 



U X 



■ . M Ili ..Ira ,1,; J-— :vi '.iflOIE 



u ■ ' 



".'A, 



e se si faccia al tempo stesso x = — co, X=o.5 si troverà' 



o 



c^)./ N-K=-rj^)) 



l:!i:>|i iOi 



L 



La formola (3a) si accorda con un teorema, con l'ajuto 

 del quale io per il primo ho dimostrato che per una equa- 

 zione di qualunque grado, si possono trovare funzioni razio- 

 nali dei coefficienti, i segni delle quali facciano conoscere il 

 numero delle radici reali positive , e il numero delle radici 

 reali negative. : , . ^,^^^ f- 



Se si combina, la formola (Sa) col teorema 4-° si otterrà 

 quest'altro teorema dovuto al Sig. Carlo Sturm. . 



7.° Teorema, Sia ,, -"^.||| 



(33) u, II, <T, g. . . .ip, a. ■■': I ; ; < ..-■ • ii'O 



