una se^ie di funzlopi intiere idjivr'Scelt^ per modo che di tre 

 termini consecutivi della serie (33) il terzo sia sempre eguale, 

 astrazione fatta dai segni, all'avanzo della divisione algebraica 

 del primo per il secondo, ma afletto di un segno contrario 

 al segno di questo avanzo; dz o sarà il più gran divisor co- 

 mune algebraico dei due polinomii u, u\ ed il numero delle 

 permanenze di segni che offiiranno i termini della serie (33) 

 presi consecutivamente e Gonfrontat-i due a due, non potrà 

 che crescere per dei valori crescenti di x. Ora l' aumento 

 che riceverà il numero di cui trattasi nel passaggio da un li- 

 mite dato x = x , ad un limite più considerevole .t = X sarà 

 o * 



precisamente il numero delle radici disuguali di it=o conte- 

 nute fra questi limiti. 



Nota. Si possono senza inconveniente sostituire agli avanzi 

 delle divisioni successivamente operate i prodotti di questi 

 avanzi moltiplicati per numeri intieri qualunque; il che per- 

 mette di far scomparire li divisori numerici nei polinomii 

 a,g . . . . ip, o, allorché i coefficienti delle diverse potenze di 

 X nella funzione u saranno numeri iutieri. 



Appoggiandosi ai principii qui sopra esposti si potrebbe 

 anche estendere il calcolo degli indici alla determinazione 

 delle radici immaginarie delle equazioni, come pure alla so- 

 luzione delle equazioni simultanee, e dimostrare in particolare 

 la seguente proposizione. 



8." Teorema. Siano /(:»:,/), F{x, y) due funzioni di x, y , 

 che rimangano continue trai limiti x^x , x=X, Y=y ,y=Y, 



o o 



Chiamiamo (p{x,y), *]{x,y) le derivate di queste funzioni re- 

 lativamente ad X, e xi^^y)' Xi^'^y) ^^ '*^''^ derivate relativa- 

 mente ad y. Finalmente sia N il numero dei differenti siste- 

 mi dei valori di x,/ proprii a verificare le equazioni simul- 

 tanee /(x, 7)3=0, F(a;,7)=:o, e compresi fra i limiti qui sopra enun- 

 ciati. Si avrà 



