Del Sic. Dottor Piola iSq 



a cui gli anzidetti valori continuamente s'accostano al cre- 

 scere di « e all'impicciolirsi di a. 



Quantunque al nostro scopo non sìa necessario^ diremo che 

 per un principio noto nella teorica delle serie, le A ,A , A ecc. 



I 3 3 



nella (3) non potranno differire fra loro che pel diverso valore 

 dell' indice, talché la (3) potrà scriversi 



(5) x{a) = 2~\,^P{i,n). ' ' 



Ciò che piìx interessa^ è la proprietà rimarcabile della 

 funzione x{a) quando il secondo membro della (3) si fa una 

 serie infinita, e che vedesi passando da una delle equazioni 

 (4) alla seguente. Crescendo «di un aumento a minore d'ogni 

 quantità assegnabile , il valore corrispondente della funzione 

 x{a) può saltare di una quantità finita. Proprietà questa d'im- 

 portanza primaria, come vedremo in tutta la seguente teorica. 

 L' esistenza di simili funzioni in analisi era già nota , ed oc- 

 corse anche al Legendre (*): quando però questa singolarità 

 analitica non fosse constatata altrimenti, la precedente dimo- 

 strazione la porrebbe fuori di dubbio. 



Adunque non solo è possibile escogitare una funzione 

 x{a) che renda la serie (a) eguale termine per termine alla 

 (i), ma è possibile in infiniti modi, stante l'arbitrio rimasto 

 nella funzione i/(f,a) assunta per comporre la (3). 



3. La successione dei valori saltanti non sia più come 

 nella (i) rappresentata da una serie semplice, ma da una serie 

 doppia 



(*) E.\ercices de Calcul Integrai. Voi. P. pag. 178. §. II!. n. 33. 



