Memoria del Sic. Dottor Piola r5 

 Il corpo che risulterebbe dopo l' ideata riduzione delle molecole, 

 sarebbe bensì un corpo a densità cangiante di tratto in tratto, 

 ma non il vero corpo a densità variabile. Nondimeno noi pos- 

 siamo col pensiero impicciolire continuamente di grandezza e 

 crescere di numero i primitivi parallelepipedi kìj, e i corris- 

 pondenti volumetti ?;, , TJ, , z'3 v„ che colla loro somma com- 

 pongono il volume intero del corpo. Ci si presenta allora alla 

 mente una serie indefinita di corpi a densità cangiante, che 

 occupano tutti uno stesso volume V, nei quali i salti di den- 

 sità d'uno in altro volume diventano sempre più frequenti, e 

 una stessa densità persevera sempre più poco. Il corpo a den- 

 sità variabile è quello, lo stato del quale viene sempre meno 

 imperfettamente rappresentato dai corpi dell'anzidetta serie più 

 che e' innoltiiamo in essa, e sta come limite -^i tali successivi 

 avvicinamenti. 



9. Fissata l'idea della densità variabile, cerchiamone l'espres- 

 sione. Il volumetto v„ sia quello contenente la massa che nella 

 disposizione precedente ideale occupava il parallelepipedo kij 

 il cui vertice più vicino all'origine degli assi avea le coordinate 

 fl, ^, e. È manifesto che le dimensioni del volume v^ dipende- 

 ranno dalle forme delle funzioni a:(a, /?, e), /(a, Z^, e), z[a^b^c) 

 che regolarono la collocazione rispettiva delle molecole nel tra- 

 passo alla disposizione reale. Esso è in generale espresso dalla 

 formola 



v^-^ f dx f dy f dz . i 

 dovendosi intendere le integrazioni definite secondo i valori che 

 prendono le x^y^z alle superficie conterminanti il volume: ma 

 non si vede a prima giunta come effettuare tale operazione 

 analitica. Si arriva però all'intento trasformando detto integrale 

 triplicato neir altro equivalente preso per le variabili a, b, e 

 delle quali conosciamo i limiti che si riferiscono alle dimensioni 

 del parallelepipedo kìj. Abbiamo per tal modo, giusta la nota 

 teorica per la trasformazione degli integrali triplicati (*) 



(*) Lacroix. Traile ec. T. II. n. 53i. pag. 208; ovvero Bordoni. Lezioni ec, 

 T. I. pag. 38o. 



