Memoria del Sic. Dottor Piola fif'l 



(39) a=f{x,y); 



e che non diversificano fra loro se non a motivo del parame- 

 tro a il quale, costante in ciascuna trajettoria, varia dall' una 

 all'altra. La stessa conseguenza può dedursi più in generale, 

 anche per quando il moto non è permanente, dalla equazione 

 (9) Capo I. della Memoria prima ( Memorie dell' I. R. Istituto 

 Lombardo. Voi. i". pag. ^2,2,. ) dove il secondo membro essendo 

 una costante per riguardo al tempo, la quale muta per diversi 

 luoghi della massa, ha la stessa idea della precedente a: e sic- 

 come il primo membro è funzione delle ^,-/, if, che rimane la 

 medesima per tutti i punti del fluido, quella equazione è in- 

 somma l'equazione generale delle trajettorie, come la poc'anzi 

 scritta (89). Vi è solamente la differenza del provarsi a questo 

 modo che aui^he quando vi è il tempo esplicito, le trajettorie 

 variano soltanto pel mutare di una costante in una equazione 

 che tutte le comprende, come quando il moto è pei'manente. 

 Osservazione quest' ultima fatta dopo la pubblicazione delle ri- 

 cordate Memorie, e che parmi importante. 



Avendo una equazione come la precedente (39) , ove è 

 isolata la costante che muta di trajettoria in trajettoria, col 

 derivarla totalmente pel tempo ( operazione che fa sparire quella 

 costante )", si cava 1' importantissima conseguenza che 1' equa- 

 zione derivata 



(40) f'{x)u^f[y)v = o, • • . ■ 



nella quale alle z/, v s'intendano sostituiti i loro valori gene- 

 rici z/(a-,j), T'(a:, /), deve verificarsi anche considerando x\ y 

 fra di loro indipendenti. Se così non fosse, se ne potrebbe de- 

 durre / in funzione di x senza la costante a, il che ripugna 

 alla natura della questione. Quindi l'ottenuta equazione (40) si 

 verifica per tutti i punti della massa, come le altre della teo- 

 rica Euleriana, e può ad esse associarsi per facilitai-e la ricerca 

 delle funzioni incognite di x, y cui sono eguali le velocità z/, v. 

 Ciò è appunto che mi riusci di fare nel caso del moto perma- 

 nente e nella supposizione che, quando il liquido è chiuso da 



