Memoria del Sic. Dottor Piola i6g 



può ottenere una non oltrepassando le equazioni die contengono 

 le derivate terze q\ r" : ecco in qual maniera. Si prendano la 

 seconda delle (7) e la prima delle (8) e se ne cavino i valori 

 delle q"\ r" : troveremo 



T^'(k" — 2.l) — r'l' ,n g'I' — fj" (k" — 2l) 



1 2.(q' r" — q" r' ) ' 2.(q'r" — q" r' ) 



Quadriamo queste due equazioni e sommiamole : richiamando 

 le equazioni (6), e la prima delle (7) per le opportune sostitu- 

 zioni, otterremo 



^jn{r/r" — q"rY = l (k" — aiy — k! l' {k" — 2.I) -^ {k— i ) l'\ 



Ora sommiamo questa colla seguente 



che è la prima delle (7) quadrata e moltiplicata per m; osser- 

 vando essere 



(^^j' r" — q" r' Y ^ {^J q" -^ r r"Y = {q' -i- r^){q"' -^- r"-) 



giungiamo all'equazione desiderata che è 



(io) 4m {k—i)l = I{k"—2.1Y — h! t {U'—^T) ^ ( k—i) l'^ -t- m^'^ 



Qui si può, sostituiti i valori (5) , cercar di dare all' equazione 

 una forma elegante, la quale però non gioverebbe al nostro 

 fine, come apparirà dal progresso. 



Ecco una equazione fra le sole derivate delle ,r, j, z, la 

 quale ( cosa notabile ) si verifica per qualunque curva, e ne 

 vedemmo più sopra la ragione. Il più è, che di tali equazioni 

 se ne possono trovare altre simili quante se ne vogliono seguendo 

 r indicato processo di eliminazione. La prima di quelle che ri- 

 sultano dalla eliminazione delle ^'% r" è 



(11) ^n{k—i)l = l{k"'—3l'Y -+- {k—i){r—2mY 



: < ,,f ... . — k'{k"' — 3l'){l" — 2??z) -4- k'^'n. 



Non mi fermo a descrivere l' operazione, e nemmeno a dare le 



equazioni che seguono, perchè, come fra poco si farà chiaro. 



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