Memoria del Sic. Dottor Piola i8r 



84- A questo fine è necessario premettere la dimostrazione 

 di un principio puramente analitico. Le x, y essendo funzioni 

 delle />, q, e viceversa essendo lecito considerare le /?, q fun- 

 zioni delle x,y . i P 

 (44) J>=F{x,y); g = q{x,y); 

 due quantità qualunque L, M funzioni delle p, q^ si potranno 

 aver per tali in quanto prima lo sono delle x, /. Di qui le due 

 equazioni 



ài. dL , d_L ,. àM. dM £M ■' 



dp dx dy ■' '' dq dx • dy -^ ' ' 



che scriveremo senza alterazione, perchè giova in appresso, 



,,r\ dh I / dh , dh ,\ dM I / dU dM ,\ 



(45) j^ = -a{z^-''^-^ify-<'y)-^ ^ = o{-di-"'^'-^w"^r 



e alla quantità o, che può essere qualunque, daremo il valore 



(46) a= , ' , ■ 



V ' ' ^ y, —'y ^, 



Ora vogliamo provare identiche le due equazioni 



^^"l dx ^ dy — ^ " dx ^ dy — ^ •> 



dove i quattro prodotti ax\ ay\ ox^ , o/ , si considerano fun- 

 zioni di x, /, supponendosi che eseguite le derivazioni indicate 

 dal loro modo di essere, siansi rimessi al luogo delle p-, q \ va- 

 lori (44) • Abbiamo le due equazioni 



x = x\p{x,y), q{x,y) ] ; y=y [p{x,y), q{x,y) ] 



che sono identiche perchè s' intendono formate, avendo nelle 

 espressioni delle x,y per le p, q risostituito alle />, q i valori 

 (44) • Esse, derivate per le .r, /, ci porgono le quattro 



I = x'p (x) ■+- X q' {x) ; o = y p' {x) -f- y^ q' {x) ' ' ''' 



c = x'p'(y)-^x^q'{y); i =7>'(7) -+-7, '?' (j) • "■'-" 



Ricaviamo da queste i valori delle quattro incognite x\x^,y\y/, 

 posta per brevità •. • m r ' ^.i- 



(48) D=p'{x)q'{y)-q-{x)p'{y). isMn ^ :■! m . -i 



