Del Sic. Commendatore G. Plana 345 



Ciò posto, consideriamo T equazione 



{x'-x) X' -4- (/-/) Y' -4- {z'-z) Z' = o \l 



del piano osculatore della curva, nella quale si ha 



X'z=dy.ddz — dz.ddy ■■, Y':=idz.ddx — dx.ddz ; 7j'=:dx.ddy — dy.ddx. 



Mediante le equazioni (2) e (3); fatto , , , 



■\ 





SI troverà 



X=-(g)^sin=0-S(x^cos^0)-^(g.f-J-g)sin0cos0; 



(4) <J Y=— cos(^— (2)\sin^0cos^— 2sin0cos0sin^-4-(2- ^!— ^)sin^f?sin(^i 

 Z = sin(^^(g)^sin^0sinf?3-gsin0cos0cos(p-H(g ■ ^-^J|)sin^é^cos(^. 



Ora, se noi facciamo M:=:i:X-(-/Y-+-:;Z, queste equazioni danno 



(5) M = -.gcos^-efsin^0cos0-.-(S.S^-^At).,in0; 



per modo che si ha -i::' .-. -^ -_ — j '^ -- • . 



r ,'.-.11 i. r i - ' 



(6) \".\ ; " • a;' X -H 7' Y -t- z' Z = M 



per l'equazione del piano osculatore. - '' ""' '• 



Per porre sotto una forma più semplice le tre funzioni 



X, Y, Z, osservo che, eliminando il binomio -rs-^z^ yÈ. nie- 



do da do 



diante l'equazione (5), si ottiene v^ -■,,1. • .. 

 rX = Mcos0-g)^gsin^^, 



(■j) < Y = M sin d sin (p ■+- {^-^Y | -^ . sin <p sin d cos 6 — cos <p ì , 



f Z = M sin cos (p -H (^y I ^ . cos (p sin cos -t- sin (^ | . 



Di qui, avendo riguardo all' equazione (i), la quale dà 

 (^Y=: i -\- (-^1 sin" 6 , si trae facilmente per la somma Ci't 

 X'-f-Y"-+-Z^ dei tre quadrati questa semplicissima espressione 



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