Rispetto alle curve descritte sopra superficie diverse dalla 

 sferica, la posizione del centro della sfera osculatrìce ed il suo 

 raggio, possono essere analiticamente determinati colle seguenti 

 formole. Siano 



( [x — x) dx -H [y — y) dy -4- [z — z) fi?z = o , 



(3()) l[x—x)d^x->^[y—y)dy->r-{z—z)d''zr=ds\ ''''\ 



( [x — x)c?^x-l-(j' — y)d^y-^-(z — z)d''z ■=Z ds . d^'s ^ 



le equazioni di tre piani consecutivi, normali alla curva. 



Risolvendole rispetto ad [x — x) . [y — ■/) , {z — z) si trova , 



che fatto -j- ^ \ " ' ' ' 



N' = — \'d\x — X'd'y—Z'd'z, -i^-^'^ 



si ha -'? 



ds^-dX' — Sds.dds.X' i~,i 'lyq 



X — X : — 



(4C) / y'—y 



V ' ijv ■'•('! r.n; 



ove X', Y', Z' sono funzioni dei differenziali di a% y, z delle 

 quali si ha l' espressione nel secondo paragrafo. 



Ora, chiamando r il raggio della sfera osculatrice, cioè 



/• = /(x— x)^ -f- {7'— j)^ -H (z— z)% 

 ne risulterà 1' equazione 



(4i) N'\r^ = {dsY\{dy^'Y^{d'^'Y^{dZ'Y\ '''" 



-t- 9 (rf.?) ^ (rf^.?)" (X ' ^ -H Y ' ^ -+- Z ' ^) 

 — 3 (^.^f . ^^5. ^/. j X'^-H Y'^-hZ'^ ( . 



Sotto questa forma non si vedrebbe facilmente, che per le curve 

 descritte sulla sfera si deve avere r costante ed eguale al raggio 



