Del Prof. Barnaba Tortolini 879 



( x" H- 7" -4- z* )" = e* z" — fl" X" — ^^/^ 



Una tal superficie dotata di centro, e limitata in tutte le di- 

 rezioni è somigliante a quelle, che nelle figure curvilinee ha 

 la lemniscata^ ed il centro sarà un punto doppio della superficie 

 ove passeranno due piani tangenti. Per le sezioni piùncipali nei 

 piani xz^yz otteniamo due curve di quarto ordine 



( a-" -1- 2^ )" = e" z^ — a^ x\ [y^ -^r- z^Y =. e s" — b^y^ 



le quali sono il luogo geometrico della projezione ortogonale 

 del centro di due iperbole sulle sue tangenti : queste iperbole 

 sono evidentemente due sezioni principali dell' iperboloide a 

 due falde. Per la sezione principale nel piano xy si avrà la 



curva imagmaria 



( x^ -+-/")" = — a" :c' — Z*"/' 



il che prova essere il centro un punto dal quale partono le 

 due superficie chiuse eguali, e simili fra di loro. È facile di- 

 mostrare che gli angoli a , /?, y formati dal piano tangente la 

 superficie nel centro con i tre piani jz, xz, xy sono determi- 

 nati pel doppio sistema di valori . • • < 



cosa=± .., . °, ,, , cos/i=: 



1/ ( a^ H- i" -H e" ) ' ' — 1/ ( a^ -I- i^ -t- c^ ) 



e ^^ . . • 



^''^ ^ ~ 1/ ( a" -+- &' ^ cM '■.•,-■. , 



quindi il centro è un punto doppio. Se alle coordinate ortogonali 

 x, 7, s si sostituiscano le polari r, /?, ^; ponendo 



z = rcosp, X ■=: rsenp cosq , y = rsenp senq 



avremo per 1' equazione polare della superficie 



r^ =z e' cos'IP — a^ sen^p cos^ q — b^ sen^p san* q 



della quale faremo uso per la risoluzione del problema propostoci. 

 3°. La forraola per la cubatura dei solidi in coordinate 

 polari è 



■ Y = l ff r^senpdpdq. ■ '. :..;ir- 



