'Del Prof. Gaspare Mainardi aig 



F ( a;, 7, M ) = o per eliminarvi la y \ ovvero combinata la 

 F(a:,7, M) = o all'altra 



-j ^- j- o -+- a -T-ra .-7-^0 



dx dj a M y' 



onde eliminare la x, conseguiremo una nuova equazione dif- 

 ferenziale contenente l'incognita M, il cui integrale determina 

 questa funzione; eliminata la quale, mediante la equazione 

 F (x,/, M) =: o, avi-emo nella risultante l'integrale completo 

 della proposta equazione. 



Applichiamo il metodo ad alcune questioni geometriche. 



Si domandi la trajettoria ortotomica delle ellissi, o iper- 

 boli, omofocali? Riferite quelle linee alle due rette ortogonali 

 in cui devono essere collocati i loro assi , indichiamo con 



^ -H^= I la equazione di una di quelle ellissi, supponiamo 



«^ — b'' = c'' e la equazione differenziale della trajettoria sarà 



I— ^y = o ossia (i) {x-{-xy){xy—y)=cy' 



che ricaviamo colla eliminazione delle varianti a , b dalle tre 

 antecedenti equazioni. Moltiplicata per M la equazione diffe- 

 renziale (i), si decomponga nelle due ,,,,., ■ r ... :-.-,;i.|, 



/-f •.! x-i-yy' = My, M{xy' — y^ = c'^ 



d' onde si trae (2) c= (M— j) -*- M^/ = M(a;^-H7') 



e differenziando M'{c"-i-aM7 — x'' — j^) = (M^H-c^)7'. 



Scritta la equazione (a) come segue 



M(c='-t-2Mj — X"— 7^) = (M^-Hc')/ ''' '' ' 



combinata all'antecedente, ricaviamo ^=-, onde M=:A.y; 



essendo A la costante richiesta dalla integrazione. Avremo 

 quindi 1' integrale completo della proposta equazione (i) 



Aj» A j 



c»(A— I) c^y ~ ,,f,rv.?:?-^ ■,,; 



il quale rappresenta un sistema di ellissi, o iperboli, omofocali. 



