iì56 Osservazioni su' metodi proposti ec. 



« possono essere rappresentate dalla sna oqnazioiie primitiva 

 « completa, dando alia costante arbitraria tutt' i valori possi- 

 « bili. )> E ([nesti principi medesimi son quelli, che anche 

 attualmente convien seguire per ogni ricerca relativa a curve 

 inviluppi; ne v' ha per quanto io sappia alcun vestigio di 

 soluzioni di problemi di questo genere direttamente eseguite 

 con le sole risorse della Geometria analitica. 



e quesl' equazione istcssa , coiisicleralavi la p come coslanle arbitraria sarà T integrale 

 completo della proposta. Eliminando poi la jì Ira l'equazione medesima, e la sua de- 

 rivata rispetto alla stessa p, espressa da 



n^ b^ {i-t-p^)[a^ p-^-.r {>j—p.r)] -i- pa' b' [a^ p' -t-b'- — {ij — ;',r^^] =: 2 c^ p ( a^ p^ -t- b^ ) 



si otterrà una soluzione sinyolaic dell' anzidetta equazione dilVerenziale, la quale darà 

 la curva, che risolve il problema. Dall' ispezione di queste due equazioni è permesso 

 solamente eoncbiudere, cbe l'eliminata in x, y, rappresentante la curva, di cui trattasi, 

 non possa ascendere ad un grado superiore al 12". 



A questo risultanieuto può del resto, partendo sempre dalla teorica del bagrange, 

 pervenirsi iji diverse altre guise, come appunto bau fatto il Sig. de Gasparis e il Sig. 

 Trudi; il primo in una Memoria già pubblicata nel fascicolo 32 del Rendiconto della 

 R. Accademia delle Scienze di >'apoli,e l'altro in un lavoro, cbe va tra poco a veder la luce. 



Ma il Sig. Trudi ha di più, ripiegando ad altre considerazioni, definitivamente fis- 

 sato il grado dell' inviluppo, ed ha provato che il medesimo sia una curva di 8." or- 

 dine, dopo aver risoluto la seconda parte del problema, che da niun altro erasi trat- 

 tata. Egli infatti ha trovato che il luogo del vertice dell' angolo mobile circoscritto 

 ad una sezione conica, sotteso da una corda di costante grandezza, sia una curva di 

 4." ordine, avente per equazione 



in'[y- — ( (n.r-f-2iii)] [t/^-i-((i.'r-t-Hi;^ ] := c^[{nx-^-ìn}^ — mj^Y ^ 



e esprimendo la metà della data corda, ed 



y^ z^zmx-t-nx^ 



ì:\ data sezione conica. Esaminando l'equazione del i.° ordine, si riconosce subito, 

 che la curva, che essa rappresenta, abbia un pniìlo conjuyato doppio nel centro della 

 sezione conica. Or la curva di contatto del 4.'^ ordine è precisamente la polare reci- 

 proca della curva del -i." ordine; il suo grado adunque, secondo la bella teorica del 

 Poncelet, sarebbe (V. Annali cit. ) 4(4—1), ossia 12; ma l'esistenza di quel punto 

 doppio deve, secondo lo stesso illustre Geometra (Giornale di matem. di Creile, voi. 3."), 

 diminuire di 4 il numero 12; dunque infine l'inviluppo delle coi de di costante grandezza 

 iscritte in una data sezione conica sarà una curva di 8." ordine. Se la sezione conica 

 data sia parabola, 1' inviluppo non sarà che una curva del 6." ordine. 



