Sao Sulle proprietà delle linee ec. 



Teor. III. Tra le infinite coniche, che possono passare per 

 quattro punti collocati in un piano nel modo dianzi descritto, 

 due sole possono esser paraboliche, e gli assi di queste sono 

 paralleli alle due rette di posizione invariabile. 



Sieno (§5 >?) le coordinate del centro di una delle curve 

 comprese nell' equazione (3) , e sarà 



{ ' ^-) {y — V Y -^ ^a [y — V ) ( X — I ) -H {m-\-na) [x — l y — ^ = o 



una nuova forma che potremo dare alla divisata equazione. 

 La identità dell' equazioni (3) e (io) importa die abbiasi 



p-^-qa = — aì^ — [m-^na)'E, 



s = ì^'' -{- 2.alt^ -+- (jìi-i-na) |^ 



Eliminando a fra le due prime di quest' equazioni, si ottiene 



(il) o = ( A-, — i^){ì^-hn^-i-q) -\- fìi^"" -i- p^ . 



Paragonando questa equazione colla (H) , si trova 



A = 7i, B = q — k, C= — m, D = — p — ?ik, E = — qk 



e conseguentemente 



A^ — 4 C = 7i^ -f- im > o. 



Essa dunque appartiene all' iperbole. Inoltre a pag. m del 

 mentovato mio opuscolo ho dimostrato che gli angoli, sotto i 

 quali gli assintoti dell' iperbole tagliano 1' asse delle ascisse , 

 sono le due radici dell' equazione 



tg^ t/y -H A . tg i// -+- C = o. 



In conseguenza gli angoli i^;,, ip^, che misurano le inclinazioni 

 degli assintoti della curva (ii) sull'asse delle ascisse, saranno 

 definiti per 1' equazioni seguenti 







