Del Prof. Ab. Barnaba Tortolini 343 



limiti p = , y9 = I , in modo che per la nota teorica della 

 trasformazione degli integrali multipli si otterrà il cangiamento 

 di differenziali e delle derivate, e si procederà quindi alle 

 integrazioni estese entro i convenuti limiti, che soddisfino 

 all' equazione della projezione della curva sferica, come si 

 vedrà dagli esempi che mostreremo. 



a. Proiettando il centro dell' iperbola sulle sue tangenti, 

 otteniamo pel luogo geometrico la curva del quarto ordine 



Questa curva dotata di centro, e limitata in tutte le direzioni 

 nella sua figura somiglia alla lemniscata, e ad essa si riduce 

 nel caso dell' iperbola equilatera. Costruendo sopra di essa 

 un cono di altezza e, e coli' origine delle coordinate nel cen- 

 tro del cono, si avrà per la sua equazione 



. . : : C' {x^-h y' Y = z^{ a" x^ — b'y' ) 



I rapporti — , — rappresentano le tangenti trigonometri- 

 che degli angoli, che le generatrici del cono formano con il 

 suo asse, allorché passano per 1' estremità dei semiassi a, b ; 

 tuttavia le costanti a, b, e potranno nell' equazione del cono 

 riduisi a due per la supposizione di c=i, ed in questa guisa 

 le quantità a, b rappresenteranno esse stesse i valori delle 

 indicate tangenti trigonometriche. Adottando adunque la coesi- 

 stenza delle due equazioni 



o;^ -+-y» -t- 2^ = I, ( X* -t- 7^ )=> = z» ( a' X» — è*/" ) 



è chiaro che dalla intersezione di queste due superficie con- 

 centriche verrà delineata nella sfera una curva a doppia cur- 

 vatura, e somigliante nella sua figura a quella della lemniscata. 

 Eliminando la z, e prendendo per fissare le idee b<ÌJ otter- 

 remo per la projezione della curva sferica nel piano delle xy 

 la curva di quarto ordine ■ i 



(x"-+-7")[(i-4-fl^)r"-l- {i—l>^)y^] ■=. a" x'' — b'' y\ 



