35i2, Applicazioni dei trascendenti ec. 



È dunque esprimibile 1' area sferica di cui si tratta in tra- 

 scendenti ellittici completi di prima e terza specie, e sarà 

 secondo le notazioni di Legendre 



cF(k) — cn(>i, k)- 



Il parametro n negativo trovasi compreso fra la quantità, — Z;^, 

 ^5 — I5 per ciò chiamando k' il complemento del modulo, e 

 un' angolo ausiliare si potrà fare con Legendre 



n = — I -*-^'=' sen"0. 

 Nel caso in cui siamo n = — 4i k'^ = — 



it(c' -t- a^ ) ' 



per 



ciò 



sen^0 = 



( 4c" ■+■ a' ) 



Ciò posto ritenendo che F(A, ^), K{k^O) rappresentino 1 

 due trascendenti ellittici di prima e seconda specie di mo- 

 dulo /t, e di ampiezza d, per una formola data da Legendre 

 si ha la riduzione dei trascendenti ellittici completi di terza 

 specie in quei incompleti di prima e seconda, sicché facendo 



-I>(^) = F(A)E(Z;', 0) -+- F{k\d)E{k) — F{k)F{k\d) 



A{k,0) = i/{i—k' sen- 6 ) 

 avremo (i) 



'qf;l^{nin,k)-Fik)) = ^-<v{e). 



Nel problema che abitiamo risoluto 



cos^ = 

 Di qui 



-se=f,iag_, se„e=J^l55|-;, A(f,9)=/(,-*-se„.«)=l?. 



F(k) — n(n.k) 3.^(0) « 



lX(c^ -t- a*) e C ' 



onde 



s = 4(^'i'(^)-f) 



(1) Foiictious elliptiques; Tom. 3°. pag. 144. 



