Del Prof. Ab. Barnaba Tortolini 35g 



Sommando queste due equazioni, e riducendo tutto alle po- 

 tenze di cos(j5, e ponendo 



A = l>{a—b){2.a—b), B = {a—b)''{a—2.b), C = — {a—b)^,cos(p=u 

 otteniamo 



i^ = ab^-^Au^-+-Bu^-^Gu\ - ; ^-- 



d' onde prendendo 



R^ = a Z* ( e -H Z* ) -H A M^ -4- B Zi* -+- G M* 



si troverà '■• : '"'■■■" '■ • -■■ ■ ' ■' ■■ '• 



Questo è il valore del quadrato del raggio vettore r condotto 

 dal centro della curva di projezione ad un suo punto qua- 

 lunque corrispondente al punto (x,y,z) della curva sferica. 

 Una cosa importante da osservarsi è, che le due quantità 

 componenti il valore di r° rimangono invariabili, se si muti 

 a in b, b in a, cosi^ in sen^, che anzi il numeratore è de- 

 componibile in tre fattori, due dei quali sono ripetuti. Rap- 

 presentiamo con R' il numeratore di r^, e sostituiamo nuo- 

 vamente i valori di A, B, C, e poniamo inoltre {a — b)u.'' = (j, 

 si avrà 



R^^ = — [co^—{a — 2.b)o'' — b{2.a — b)o — ab^]. 



Ora l'equazione R^^ = o si verifica non solo per « = a, ma 

 ben anche per altre due radici eguali e negative «= — /;, per ciò 



B.; = —{o — a){a-^b)\ 



ovvero per la sostituzione di « e di m , sarà 



R;=[a — {a — b) cos" (p][b-i-{a — b) cos' (p ]\ 



Il valore di R ^ rimane evidentemente invariaJjile col caneiare 

 a in b, b in a, cos(p in senip. Di più fra le due quantità 

 R% R ^ sussiste la relazione 



