Del Prof. Ab. Barnaba Tortolini 363 



Si riprendano i valori di N, N^ ed ordiniamo relativamente 

 alle potenze di u = cosip, avremo 



N-i-N, = A-^A,-i-2B^-H3C,-4-a( B— B — 3G, )u'-+-3 (C-i-C, ) u^, 



ove sostituendo i valori di A, B . . . . tutti i termini si annul- 

 lano; perciò si ottiene definitivamente 



^^ r, — ^,y = [/ab '^ — i^ ^ R» —^ ■ 



Questa è la forma più semplice che possa ottenersi pel va- 

 lore del primo membro. Siccome poi nell'integrale esprimente 

 la quadratura sferica all' elemento dx dy deve sostituirsi il 

 nuovo elemento differenziale {^'y, — x^y) dp d(p, così fa- 

 cendo l'intera sostituzione nella formola riportata al principio 

 di questo parag. ed integrando entro i limiti p = o, p=i, 

 (p = o, (p = ^7t, avremo > ,,,,; , r J.^ r, 



o / y— / " / [b-^{a — b) W ] [2(2 — b — 3 {a — b] w ]pdp d(p 



Integriamo relativamente a p, sarà dopo la sostituzione 

 s = Wab yj '— -' ^. '— 



t 



/"i'' l/abc.[b^ia — b)u^][2a — b — 3(,a — b)u']d^ 'ì '• 



Da altra parte si è veduto nel parag. ii. che per R ', si ha 



R» = [fl — {a — b)u^][b-i-(a — b)ii']', 

 perciò 



e / /~7 r f^" [<ia — b — 3(a — b)u*ìd(p 



a — ^l/ab yj^ [a-(a-b)u^]lb^(a-b)u'] 



/— 7- f^"^ [ag — t — 3(o-&)a'](f^ 1 



l/abcj^ [a-{a-b)u'][b-^.(a-b)u']R \- 



Il primo degli integrali si trova in termini algebrici, ma il 

 secondo col richiamare il valore della quantità irrazionale R 

 dipende dai ti-ascendeiiti ultraellittici. Per giungei-e infine 



