3 70 Applicazioni dei trascendenti ec. ^ 



Si sostituisca adunque nel noto integrale delia quadratura 

 sferica l'elemento {xy^ — x^) cip da all'elemento dxdy^ ed 

 i limiti per la quarta parte dell'estensione saranno y3=o, ^=i,ed 



?;z=o, z< = arctang f — y = 0. 



Avremo per la quadratura della nostra curva sferica l'integrale 



Integriamo relativamente a /?, abljiamo 



/ p dp ^ Tx' _ V^^W — {a — h)K; 



d'onde per la sostituzione di R, R, il valore di S diviene 



Il secondo degli integrali si riduce ad un trascendente ellit- 

 tico di tei'za specie. È noto in generale che la forinola dif- 

 ferenziale 



* du 



|/( M -1- ji sen' it ) |/( y -t- 5 sen" « ) 



si riporta alle formole differenziali dei trascendenti ellittici 

 col fire una delle due trasformazioni 



tang u = l/^ . tang <p, tang u = |/^-^ • tang (p , 



ove uno dei prodotti a(a-i-/5), 7 (/-He?) sia positivo. Nel 

 nostro caso possiamo fare a=-ù^ [ì=^a — b^ perciò 



tangM = j/'^ • tang -^5 

 e quindi 



, h sfn^ rfi , a COS.' rti 



sen'' u = — — r — r— , cos"^ u = r-. — r — tz. 



a cos'ai -+- w sen^rjì ' o coò" f) -+- i seri f 



,/,,_ \/^- àp , /rXi:m_ Ai sen^ lù — l /[A«-^(B^'-A'^)s''"'f'l 



