Die Convergenz der Jacobi'schen ,9-Reihe mit den Moduln Riemanns. 5 

 und wenn die Summe der convergenten Reihe: 



m = — 00 



gesetzt wird, 



0</(^:o/(y--/(y- 



Da aber, wie sofort bewiesen werden soll, für jedes reelle t: 



0</(L)</(|).^ 

 ist, so folgt endlich: 



1 r^-2 I ^-2 _L . . _L C-] 

 a L'^1 I -2 1^ ' ■!>■' 



Mod d^<G< 



/(!)■ 



p 

 e 



also das Resultat: 



Solange von keinem der j^ Argumente ^1,^2, • • v^, der reelle 

 Teil unendlich wird, ist unter den, über die Moduln «„., oder 

 die quadratische Form ff gemachten Voraussetzungen 1) die 

 zu ^ gehörige Modulreihe convergent, also 2) auch die 

 ^-Reihe selbst, und zwar ist ihre Summe nicht bedingt durch 

 die Anordnung der Summation. Sie ist durch den vor- 

 stehenden Beweis sichergestellt für alle diejenigen Fälle, 

 wo man berechtigt ist, jedem einzelnen Gliede der ^-Reihe 

 einen exacten Wert zuzuschreiben. 

 Für die Theorie der Abel 'sehen Funktionen reicht dieser 

 Convergenzbeweis — bis auf die angedeutete Schlussfrage — aus; 

 ich übergehe daher den ebenso einfachen Beweis, dass die ^-Reihe 

 in allen denjenigen Fällen divergiert, wo r/) nicht die im Riemann- 

 schen Falle vorhandenen Eigenschaften besitzt, also entweder (p 

 negativer Werte fähig ist, oder zwar eine stets positive, aber keine 

 vollständige Form ist. — 



Die obere Grenze für / (Q, welche wir benutzt haben, ergibt 

 sich wie folgt. Bleibt L auf reelle Werte beschränkt, so ist 



(.( 





stets positiv, ausserdem eine gerade, periodische Funktion von L, 

 mit der Periode zJ'C=-a. Wenn daher M(l)<ß ist von L'=0 bis 

 L = -, so gilt diese Ungleichheit für alle reellen Werte von L, 



