Sur la 

 fonction i (0 de Kiemann et son application ä l'aritlimetique. 



Par 

 Jeröme Franel. 



L'intelligence complete du memoire de Riemami sur le nombre 

 des nombres premiers inferieurs ä une grandeur donnee presente, 

 on le sait, des difficultes assez considerables. C'est pour faciliter 

 l'etude de ce memoire au lecteur desireux de l'approfondir que 

 nous publions ce travail. Nous nous sommes efforces, tout en 

 etant concis, d'exposer avec la rigueur desirable les prmcipaux 

 resultats düs ä Riemami. II reste encore un point fondamental 

 ä elucider : demontrer que toutes les racines de l'equation ^ (t) = 

 sont reelles. II faut esperer, en raison du grand nombre de geo- 

 metres qui s'occupent actuellement de la fonction ^ (0, que cette 

 derniere difficulte sera, eile aussi, bientöt completement eclaircie. 

 On trouvera, ä la suite de la traduction fran^aise du memoire de 

 Riemann que vient de publier M. Laugel (^), une liste des prmci- 

 paux travaux pariis sur la question qui nous occupe, ce qui nous 

 dispensera de multiplier les citations. 



Theoreme I(^). Soient s une variable et A^, Äo, . . . A, 

 des constantes quelconques. Si le module de 



A,+A2 + ---+ An 



(1) Chez Gauthier-Villars et fils. 



(^) Voir Dedekind, Ueber die Convergenz und Stetigkeit einiger unend- 

 lichen Reihen, IX Supplement aux Vorlesungen über Zahlentheorie de Uirichlet. 



